Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}.
y=\left(x^{2}+2\right)(x+\sqrt{x}) ; x_{0}=4

Passo 1

O enunciado dá a função y=(x^{2}+2)\,(x+\sqrt{x}) e pede a taxa de variação \dfrac{dy}{dx} no ponto \,x_{0}=4.
Informações fornecidas:
  • A função: y=(x^{2}+2)\,(x+\sqrt{x}).
  • O ponto onde avaliar a derivada: x_{0}=4.
  • O pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} e em particular \dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=4}.

Passo 2

Vou escolher um método: expandir o produto e diferenciar termo a termo. Justificativa curta: ao expandir obtemos uma soma de potências de x, e a regra de potência (fácil e direta) permite diferenciar cada termo sem precisar aplicar produto e soma de derivadas repetidas. Isso costuma ser o caminho mais simples em provas quando a expansão é direta.

Passo 3

Expandir o produto: multiplicar cada termo de (x^{2}+2) por cada termo de (x+\sqrt{x}).
y=(x^{2}+2)(x+\sqrt{x})=x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot\sqrt{x} + 2\cdot x + 2\cdot\sqrt{x}.
Agora simplificar as potências usando \sqrt{x}=x^{1/2} e a regra de soma de expoentes:
y = x^{3} + x^{2+\tfrac{1}{2}} + 2x + 2x^{1/2} = x^{3} + x^{5/2} + 2x + 2x^{1/2}.

Passo 4

Relembrando a regra que vou usar (regra de potência):
  • Para uma função \,x^{n} com n real, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui \,x é a variável independente e \,n é o expoente (qualquer número real). Também uso que a derivada de uma soma é a soma das derivadas e que constantes multiplicativas podem sair da derivada.

Passo 5

Aplicar a regra de potência termo a termo à expressão expandida \,y = x^{3} + x^{5/2} + 2x + 2x^{1/2}.
  • Derivada de x^{3}: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Derivada de x^{5/2}: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr)=\dfrac{5}{2}\,x^{5/2-1}=\dfrac{5}{2}\,x^{3/2}.
  • Derivada de 2x: \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • Derivada de 2x^{1/2}: \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.
Somando tudo:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}+\frac{5}{2}x^{3/2}+2+x^{-1/2}.

Passo 6

Opcionalmente reescrever o último termo em raiz para ficar mais intuitivo:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}+\frac{5}{2}x^{3/2}+2+\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 7

Avaliar em \,x=4. Vamos calcular cada parcela separadamente (mostrando o raciocínio):
  • 3x^{2} em x=4: 3\cdot 4^{2}=3\cdot16=48.
  • x^{3/2} em x=4: 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Então \dfrac{5}{2}x^{3/2}=\dfrac{5}{2}\cdot 8=5\cdot 4=20.
  • O termo constante 2 permanece 2.
  • \dfrac{1}{\sqrt{x}} em x=4: \dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}.
Somando:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=4}=48+20+2+\frac{1}{2}=70+\frac{1}{2}=\frac{141}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{x=4}=\frac{141}{2}

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