Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}. y=\left(x^{2}+2\right)(x+\sqrt{x}) ; x_{0}=4
Passo 1
O enunciado dá a função y=(x^{2}+2)\,(x+\sqrt{x}) e pede a taxa de variação \dfrac{dy}{dx} no ponto \,x_{0}=4.
Informações fornecidas:
A função: y=(x^{2}+2)\,(x+\sqrt{x}).
O ponto onde avaliar a derivada: x_{0}=4.
O pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} e em particular \dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=4}.
Passo 2
Vou escolher um método: expandir o produto e diferenciar termo a termo. Justificativa curta: ao expandir obtemos uma soma de potências de x, e a regra de potência (fácil e direta) permite diferenciar cada termo sem precisar aplicar produto e soma de derivadas repetidas. Isso costuma ser o caminho mais simples em provas quando a expansão é direta.
Passo 3
Expandir o produto: multiplicar cada termo de (x^{2}+2) por cada termo de (x+\sqrt{x}).
y=(x^{2}+2)(x+\sqrt{x})=x^{2}\cdot x + x^{2}\cdot\sqrt{x} + 2\cdot x + 2\cdot\sqrt{x}.
Agora simplificar as potências usando \sqrt{x}=x^{1/2} e a regra de soma de expoentes:
Relembrando a regra que vou usar (regra de potência):
Para uma função \,x^{n} com n real, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui \,x é a variável independente e \,n é o expoente (qualquer número real). Também uso que a derivada de uma soma é a soma das derivadas e que constantes multiplicativas podem sair da derivada.
Passo 5
Aplicar a regra de potência termo a termo à expressão expandida \,y = x^{3} + x^{5/2} + 2x + 2x^{1/2}.
Derivada de x^{3}: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Derivada de x^{5/2}: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr)=\dfrac{5}{2}\,x^{5/2-1}=\dfrac{5}{2}\,x^{3/2}.
Derivada de 2x: \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
Derivada de 2x^{1/2}: \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.