Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e na direção em que isso ocorre.
f(x, y)=f(x, y)=\frac{y^{2}}{x},(2,4)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima da função \;f(x,y)=\frac{y^2}{x}\; no ponto (2,4) e a direção em que isso ocorre. O conteúdo principal é o gradiente, que indica o vetor de máximo crescimento, e o conceito de derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \;f(x,y)=y^2\,x^{-1}\;:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\frac{y^2}{x^2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{2y}{x}.

Passo 3

Avaliamo-las em (2,4):
\nabla f(2,4) = \Bigl(-\frac{4^2}{2^2},\,\frac{2\cdot4}{2}\Bigr) = (-4,\,4).

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:
\|\nabla f(2,4)\| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.

Passo 5

A direção de máximo crescimento é o vetor unitário na direção de \nabla f(2,4). Normalizando (-4,4), temos
\frac{(-4,4)}{\|\nabla f(2,4)\|} = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

Taxa de variação máxima =4\sqrt{2}, na direção \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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