Questão 01. ( 2,0 pontos) Encontre o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências \sum \frac{n(x-1)^{n}}{2^{n}(3 n-1)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x-1)^{n}}{2^{n}(3n-1)}.
Este é um problema clássico de séries de potências centradas em x_{0}=1. Para achar o raio usamos o critério da razão de d’Alembert, e para o intervalo devemos testar o que acontece nos pontos extremos x=1\pm R.

Passo 2

Denotando
a_{n}=\frac{n}{2^{n}(3n-1)},
aplicamos o critério da razão considerando \bigl|a_{n+1}(x-1)^{n+1}\bigr|/\bigl|a_{n}(x-1)^{n}\bigr|. Primeiro calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{\frac{n+1}{2^{\,n+1}(3(n+1)-1)}}{\frac{n}{2^{\,n}(3n-1)}} =\frac{n+1}{2n}\,\frac{3n-1}{3n+2} \;\xrightarrow{n\to\infty}\;\frac{1}{2}.

Passo 3

O critério da razão diz que a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\;|x-1|<1.
Como o limite vale 1/2, obtemos
\frac12\,|x-1|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2 e o centro é x_{0}=1.

Passo 4

Agora testamos as extremidades:
Para x=1+2=3 temos
(x-1)^n=2^n \quad\Longrightarrow\quad \frac{n\,(x-1)^n}{2^n(3n-1)} =\frac{n\,2^n}{2^n(3n-1)} =\frac{n}{3n-1} \sim\frac13,
cujo termo geral não tende a zero, logo a série diverge em x=3.
Para x=1-2=-1 temos
(x-1)^n=(-2)^n \quad\Longrightarrow\quad \frac{n\,(x-1)^n}{2^n(3n-1)} =\frac{n\,(-2)^n}{2^n(3n-1)} =(-1)^n\frac{n}{3n-1} \sim(-1)^n\frac13,
que também não tende a zero, logo diverge em x=-1.

Resposta

centro x_{0}=1
raio de convergência R=2
intervalo de convergência (-1,3)

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