Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(4 y+y x^{2}\right) d y-\left(2 x+x y^{2}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(4\,y + x^{2}y\bigr)\,dy \;-\;\bigl(2\,x + x\,y^{2}\bigr)\,dx = 0
e pede que a resolvamos. O conteúdo principal é equações diferenciais separáveis: precisamos rearranjar em função de y e dy de um lado e de x e dx do outro e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, levamos todos os termos com dy a um lado e com dx ao outro:
(4\,y + x^{2}y)\,dy = (2\,x + x\,y^{2})\,dx.
Fatorando y no lado esquerdo e x no direito, obtemos
y\,(4 + x^{2})\,dy = x\,(2 + y^{2})\,dx.

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando tudo que envolve y com dy e tudo que envolve x com dx:
\frac{y}{2 + y^{2}}\,dy = \frac{x}{4 + x^{2}}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{2 + y^{2}}\,dy = \int \frac{x}{4 + x^{2}}\,dx.
No lado esquerdo fazemos a substituição u = 2 + y^{2}, du = 2\,y\,dy, e no direito v = 4 + x^{2}, dv = 2\,x\,dx. Logo
\frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \int \frac{dv}{v} \quad\Longrightarrow\quad \frac12 \ln\bigl(2 + y^{2}\bigr) = \frac12 \ln\bigl(4 + x^{2}\bigr) + C_{1}.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e exponenciando, definimos C = e^{2C_{1}} (constante arbitrária positiva) e chegamos à forma implícita geral:
\ln\bigl(2 + y^{2}\bigr) = \ln\bigl(4 + x^{2}\bigr) + 2C_{1} \quad\Longrightarrow\quad 2 + y^{2} = C\,(4 + x^{2}).

Resposta

A solução geral da equação é
2 + y^{2} = C\,(4 + x^{2}),
onde C é constante real arbitrária.

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