Exemplo 5.1 Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou divergência das seguintes séries:
(a) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+1}
(b) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{k-1}
Resolução:
(a) Note que
\frac{1}{k^{2}+1}<\frac{1}{k^{2}}
Sabemos que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} é uma p-série \operatorname{com} p=2, logo a série converge. Pelo item (i) do Teorema 5.2, a série dada converge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da comparação e decidir se cada uma das séries abaixo converge ou diverge:
\text{(i) as expressões gerais dos termos: }a_k^{(a)}=\frac{1}{k^{2}+1},\quad a_k^{(b)}=\frac{\sqrt{k}}{k-1}.
\text{(ii) os somatórios começam em }k=1\text{ e vão até infinito.}
Observação direta (muito importante): para \displaystyle\frac{\sqrt{k}}{k-1} com k=1 o denominador é zero, então o termo k=1 é mal-definido; vou tratar isso explicitamente mais adiante.
Passo 2
Vou explicar o que é o “teste da comparação” (direto) e também o “teste da comparação por limites” — ambos são ferramentas que você pode usar na prova, dependendo do formato dos termos.
Teste da comparação (direto), forma útil:
Sejam (a_k) e (b_k) sequências de termos não-negativos.
Se existir N tal que, para todo k\ge N, 0\le a_k\le b_k e a série \sum b_k converge, então \sum a_k também converge.
Se existir N tal que, para todo k\ge N, 0\le b_k\le a_k e a série \sum b_k diverge, então \sum a_k também diverge.
Intuição simples: se a_k é sempre menor (a partir de um ponto) que uma série conhecida convergente, seus termos somam menos e também convergem. Se a_k é sempre maior que uma série divergente, então a_k também diverge.
Teste da comparação por limites (muito prático):
Se a_k>0 e b_k>0 para todo k suficientemente grande e existir
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Esse segundo é útil quando os termos têm comportamento assintótico semelhante.
Passo 3
Explicação sobre séries-p (ferramenta que vamos usar):
Uma série-p é [\sum_{k=1}{\infty}\frac{1}{k{p}}).
Resultado conhecido (e fácil de justificar pelo teste integral): ela converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
Justificativa curta via integral (útil decorar para a prova):
Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. O teste integral diz que \sum_{k=1}^{\infty}k^{-p} converge ⇔ \int_{1}^{\infty}x^{-p}\,dx converge. Calculando:
Se p>1\], \(1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, então a integral é finita → converge. Se p\le 1 a integral diverge. Pronto: regra da série-p.
Exemplo concreto para fixar: \sum 1/k^{2} tem p=2>1 então converge; \sum 1/k^{1/2} tem p=1/2\le1 então diverge.]
Passo 4
Aplicando tudo isso à série (a):
Termos: a_k^{(a)}=\dfrac{1}{k^{2}+1}.
Primeiro veja que para todo k\ge 1 temos k^{2}+1>k^{2}. Tomando recíprocos (notando que tudo é positivo),
\frac{1}{k^{2}+1}<\frac{1}{k^{2}} \quad\text{para todo }k\ge 1.
A série do lado direito \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} é uma série-p com p=2, portanto converge (veja o passo anterior).
Pelo teste da comparação direto (com a_k=\dfrac{1}{k^{2}+1} e b_k=\dfrac{1}{k^{2}}), como 0\le a_k\le b_k e \sum b_k converge, concluímos que \sum a_k também converge.
Comentário didático: uma alternativa seria usar o teste por limites:
como o limite é um número finito e não nulo, ambas séries têm o mesmo comportamento; como \sum 1/k^{2} converge, então \sum 1/(k^{2}+1) converge. Resultado coerente.
Passo 5
Analisando a série (b):
Termos: a_k^{(b)}=\dfrac{\sqrt{k}}{k-1}.
Primeira observação crucial: para k=1 o denominador k-1 é zero, então o termo a_1^{(b)} não está definido (é infinito). Portanto a série explicitamente escrita como \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k}}{k-1} NÃO é uma soma válida term a termo desde k=1; isso já indica que a soma, tal como escrita, é divergente (não é uma série bem-definida). Em provas, se o índice inclui um termo indefinido, a série é inválida / divergente.
Agora, frequentemente nas aulas a intenção é começar em k=2. Vou também analisar esse caso (útil para a prova): considere a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\sqrt{k}}{k-1}.
Para k\ge 2 os termos são positivos. Para decidir convergência, observe comportamento assintótico para grandes k. Para k grande temos k-1\sim k, então
Logo o limite é 1 (um número finito e não nulo). Pelo teste da comparação por limites, \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{\sqrt{k}}{k-1} tem o mesmo comportamento de \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^{1/2}}.
Mas \sum \dfrac{1}{k^{1/2}} é uma série-p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, e portanto diverge (pelo item do passo 3). Assim, a série com início em k=2 diverge. Juntando tudo: tanto pelo problema do termo k=1 (termo indefinido) quanto pelo comportamento assintótico (comparação com 1/k^{1/2}), concluímos que a série diverge.