Determine
[T]B2^B2 para as transformações T e as bases B1 e B2 dadas abaixo:
(2) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y)
B1=(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1) B2=(0,0,1),(0,1,1),(1,1,0) ;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (y+z,;x+z,;x+y),
e a base
B2 = ,v1=(0,0,1),;v2=(0,1,1),;v3=(1,1,0).
Precisamos encontrar a matriz [T]B2^B2.

Passo 2

Lembrando que, se , a -ésima coluna de é o vetor de coordenadas de em .
Se
então a coluna é

Passo 3

Calcular T em cada vetor de B2.
Para v1=(0,0,1):
T(v1) = (0+1,;0+1,;0+0) = (1,1,0)
Este resultado coincide com v3.

Passo 4

Expressar T(v1) em coordenadas de B2:
T(v1) = 0cdot v1 + 0cdot v2 + 1cdot v3
Logo a primeira coluna é
001

Passo 5

Para v2=(0,1,1):
T(v2) = (1+1,;0+1,;0+1) = (2,1,1)
Procuramos a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (2,1,1),
ou seja
a(0,0,1) + b(0,1,1) + c(1,1,0) = (c,;b+c,;a+b) = (2,1,1)
Isto dá o sistema
c=2, b+c=1Rightarrow b=-1, a+b=1Rightarrow a=2
Portanto a segunda coluna é
2-12

Passo 6

Para v3=(1,1,0):
T(v3) = (1+0,;1+0,;1+1) = (1,1,2)
Buscamos a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (1,1,2),
levando a
(c,;b+c,;a+b) = (1,1,2) Longrightarrow c=1,;b=0,;a=2
Assim a terceira coluna é
201

Passo 7

Juntando as colunas, obtemos
[T]B2^B2 = 0 & 2 & 2 0 & -1 & 0 1 & 2 & 1

Resposta

[T]B2^B2 = 0 & 2 & 2 0 & -1 & 0 1 & 2 & 1

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