Determine a temperatura resultante quando 150 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 300 g de água a 50^{\circ} \mathrm{C} em um recipiente de capacidade calorífica desprezível. Dados: cágua =4,184 \mathrm{~J} / \mathrm{g} . \mathrm{K}, \Delta \mathrm{H}^{\circ} fusão =334,4 \mathrm{~J} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio quando se mistura gelo e água. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa do gelo: m_{\text{gelo}}=150\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo}}=0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água quente: m_{\text{água}}=300\\ \mathrm{g}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água}}=50^\circ\mathrm{C}á.
  • Capacidade calorífica da água: c_{\text{água}}=4,184\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}á.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=334{,}4\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}.
  • Recipiente de capacidade calorífica desprezível (logo não absorve/calor nem precisa ser considerado).
O que se pede: determinar a temperatura final de equilíbrio T_f depois de mistura.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Conservação de energia térmica (em sistema isolado): o calor cedido por corpos quentes é igual ao calor absorvido por corpos frios, isto é, soma algébrica dos calores trocados é zero.
  • Calor sensível (quando a temperatura muda): a quantidade de calor trocada para aquecer/arrefecer uma massa m de substância é
Q_{\text{sens}}=m\,c\,\Delta T,
onde c é a capacidade calorífica massiva (unidade \mathrm{J}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}), e \Delta T é a variação de temperatura final menos inicial. Ex.: para resfriar 300\\ \mathrm{g} de água de 50^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} a energia cedida é Q=300\cdot4{,}184\cdot(0-50) (valor negativo no sentido cálculo, mas tomamos magnitudes para comparar).
  • Calor latente de fusão (quando muda de fase a 0^\circ\mathrm{C} sem mudar de temperatura): para fundir massa m de gelo a 0^\circ\mathrm{C} precisa-se de
Q_{\text{fus}}=m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (unidade \mathrm{J}/\mathrm{g}). Ex.: para fundir 150\\ \mathrm{g} de gelo precisa 150\cdot L_f.
Estratégia (sem calcular ainda): primeiro ver se a água quente libera calor suficiente para fundir todo o gelo. Se não for suficiente, a temperatura final será 0^\circ\mathrm{C} com gelo remanescente; se for suficiente, todo gelo funde e o calor restante aquece a massa total de água até T_f>0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (todo em unidades \mathrm{J}).
Usando Q_{\text{fus}}=m_{\text{gelo}}\,L_f, temos
Q_{\text{fus}}=150\\ \mathrm{g}\times 334{,}4\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}}.
Fazendo a multiplicação:
Q_{\text{fus}}=150\times 334{,}4 = 50\,160\\ \mathrm{J}.
Explicação rápida: isto significa que, para transformar os 150\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em 150\\ \mathrm{g} de água a 0^\circ\mathrm{C}, precisamos fornecer 50\,160\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o calor que a água quente pode ceder ao ser resfriada até 0^\circ\mathrm{C}.
Usamos Q_{\text{cedido}}=m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T,áá com \Delta T=T_{\text{final pretendido}}-T_{\text{inicial}}=0-50=-50\\ \mathrm{K}. Tomamos a magnitude do calor disponível (energia que a água pode liberar ao ir a 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{cedido}}=300\\ \mathrm{g}\times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\times 50\\ \mathrm{K}.
Multiplicando:
4{,}184\times 50 = 209{,}2,
Q_{\text{cedido}}=300\times 209{,}2 = 62\,760\\ \mathrm{J}.
Interpretação: ao resfriar de 50^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}, os 300\\ \mathrm{g} de água liberam 62\,760\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Comparar energia disponível com energia necessária para fusão:
  • Energia necessária para fundir todo o gelo: Q_{\text{fus}}=50\,160\\ \mathrm{J}.
  • Energia que a água pode ceder ao chegar a 0^\circ\mathrm{C}: Q_{\text{cedido}}=62\,760\\ \mathrm{J}.
Como Q_{\text{cedido}}>Q_{\text{fus}}, a água quente libera calor suficiente para fundir todo o gelo. Portanto todo gelo vai virar água a 0^\circ\mathrm{C} e ainda sobra calor para aquecer a mistura acima de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o calor que sobra depois de fundir o gelo e usar esse calor para elevar a temperatura da água resultante.
Calor restante:
Q_{\text{rest}}=Q_{\text{cedido}}-Q_{\text{fus}}=62\,760 - 50\,160 = 12\,600\\ \mathrm{J}.
Massa total de água após fusão:
m_{\text{total}}=m_{\text{água}}+m_{\text{gelo}}=300+150=450\\ \mathrm{g}.á
Esse calor vai aquecer os 450\\ \mathrm{g} de água de 0^\circ\mathrm{C} até T_f. Usamos Q_{\text{rest}}=m_{\text{total}}\,c_{\text{água}}\,(T_f-0)á. Assim
T_f=\frac{Q_{\text{rest}}}{m_{\text{total}}\,c_{\text{água}}}.á
Agora substituímos os números:
m_{\text{total}}\,c_{\text{água}}=450\\ \mathrm{g}\times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}=1\,882{,}8\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}.á
T_f=\frac{12\,600\\ \mathrm{J}}{1\,882{,}8\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}} \approx 6{,}695\\ \mathrm{K}.
Como variação em Kelvin é igual a variação em graus Celsius, isso corresponde a T_f\approx 6{,}695^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
  • Arredondando para duas casas decimais: T_f\approx 6{,}70^\circ\mathrm{C}.
  • Conclusão física: toda a massa de gelo (150 g) fundiu-se; a temperatura final do sistema (450 g de água) ficou em cerca de 6{,}7^\circ\mathrm{C}.
Força aí — é assim que se resolve esse tipo de problema em prova: sempre comparar calor disponível com calor de mudança de fase primeiro, só depois calcular aquecimento da mistura.

Resposta

6{,}70^\circ\mathrm{C}

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