Determine o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m , cheio de água, admitindo-se que a água escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 10 cm , com uma velocidade
, sendo
a altura da água no tanque e
a aceleração gravitacional.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque cilíndrico de raio
e altura de água inicial
, que é esvaziado através de um orifício na base de raio
. A velocidade de saída da água é dada por Torricelli:
com
. Nosso objetivo é achar o tempo total
até
usando um balanço de volume e resolução de equação diferencial.
Passo 2
Calcular as áreas envolvidas. A área da seção do tanque é
e a área do orifício é
Passo 3
Escrever a equação de conservação de volume. O volume de água no tanque é
. A vazão (fluxo) que sai é
Passo 4
Como
, temos
. Igualando as duas expressões:
Passo 5
Separar variáveis e integrar de
até
e de
até
:
O lado esquerdo é
Passo 6
Substituindo no balanço:
Passo 7
Agora inserir os valores numéricos:
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Resposta
O tempo necessário para esvaziar o tanque é aproximadamente
(cerca de 6,7 minutos).