Determine o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m , cheio de água, admitindo-se que a água escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 10 cm , com uma velocidade v=raiz2 g h m / s, sendo h a altura da água no tanque e g=10 m / s^2 a aceleração gravitacional.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cilíndrico de raio R=2 m e altura de água inicial h0=5 m, que é esvaziado através de um orifício na base de raio r=0,1 m. A velocidade de saída da água é dada por Torricelli:
v = raiz2 g h,
com g=10 m/s^2. Nosso objetivo é achar o tempo total T até h=0 usando um balanço de volume e resolução de equação diferencial.

Passo 2

Calcular as áreas envolvidas. A área da seção do tanque é
Atanque = pi R^2 = pi cdot 2^2 = 4pi m^2,
e a área do orifício é
Ao = pi r^2 = pi cdot (0,1)^2 = 0,01pi m^2

Passo 3

Escrever a equação de conservação de volume. O volume de água no tanque é V = Atanque,h. A vazão (fluxo) que sai é
dVdt = -,Ao,v = -,Ao,raiz2gh

Passo 4

Como V = Atanque,h, temos dVdt = Atanque,dhdt. Igualando as duas expressões:
Atanque,dhdt = -,Ao,raiz2gh Longrightarrow dhdt = -,AoAtanque,raiz2g,raizh

Passo 5

Separar variáveis e integrar de h=h0 até h=0 e de t=0 até t=T:
integralh0^0dhraizh = -,AoAtanque,raiz2g, integral0^Tdt
O lado esquerdo é
integralh0^0h^-1/2dh = l[,2raizhr]h0^0 = -,2raizh0

Passo 6

Substituindo no balanço:
-,2raizh0 = -,AoAtanque,raiz2g;T Longrightarrow T = 2raizh0AoAtanque,raiz2g = 2,AtanqueAo,raiz2g;raizh0

Passo 7

Agora inserir os valores numéricos:
AtanqueAo = 4pi0,01pi = 400, raiz2g = raiz20approx 4,472, raizh0=raiz5approx 2,236
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T = 2cdot 4004,472times 2,236 = 8004,472times 2,236 approx 400 s

Resposta

O tempo necessário para esvaziar o tanque é aproximadamente 400 s (cerca de 6,7 minutos).

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