Encontre d yd x por derivação implícita:
x^4(x+y)=y^3(3 x-y).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^4(x+y)=y^3(3x-y)
e pede para encontrar dydx por derivação implícita. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, tratando y como função de x.

Passo 2

Diferenciamos o lado esquerdo, que é o produto de x^4 e (x+y). Pela regra do produto:
ddxl[x^4(x+y)r] =4x^3(x+y)+x^4l(1+dydxr)

Passo 3

Agora derivamos o lado direito, que é o produto de y^3 e (3x-y). Novamente, pela regra do produto:
ddxl[y^3(3x-y)r] =3y^2dydx,(3x-y)+y^3l(3-dydxr)

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
4x^3(x+y)+x^4l(1+dydxr) = 3y^2dydx,(3x-y)+y^3l(3-dydxr)
Reunimos todos os termos com dydx no lado esquerdo e os demais no lado direito:
x^4dydx-3y^2(3x-y)dydx+y^3dydx =3y^3-4x^3(x+y)-x^4
Fatorando dydx:
dydxl[x^4-3y^2(3x-y)+y^3r] =3y^3-4x^3(x+y)-x^4

Passo 5

Expandindo e simplificando o termo entre colchetes e o lado direito, obtemos
x^4-3y^2(3x-y)+y^3 =x^4-9xy^2+4y^3,
3y^3-4x^3(x+y)-x^4 =3y^3-4x^4-4x^3y-x^4 =3y^3-5x^4-4x^3y
Logo,
dydx =3y^3-5x^4-4x^3yx^4-9xy^2+4y^3

Resposta

dydx =3y^3-5x^4-4x^3yx^4-9xy^2+4y^3

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