Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cuja base é um quadrado de lado 2 m e altura 5 m , como no desenho abaixo, cheio de água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0,01 m, com uma velocidade v=raiz2 g h m / s, sendo h a altura da água do tanque e g=10 m / s^2 a aceleração gravitacional. (Drenagem de água através de um orifício).

Passo 1

O enunciado nos dá um tanque com base quadrada de lado 2 m e altura 5 m, cheio de água, escoando por um orifício de raio 0,01 m na base, segundo a lei de Torricelli v=raiz2gh com g=10 m/ s^2. Vamos usar o balanço de volume e equações diferenciais para achar o tempo de esvaziamento.

Passo 2

Calculamos as áreas envolvidas. A área da seção do tanque é
Atanque = 2 times 2 = 4 m^2,
e a área do orifício é
Ao = pi r^2 = pi ,(0,01)^2 = pitimes10^-4 m^2

Passo 3

O fluxo volumétrico que sai é
Q = Ao,v = Ao,raiz2g,h
Como o volume de água no tanque é V = Atanque,h, temos
dVdt = Atanquedhdt = -Q = -Aoraiz2g,h

Passo 4

Reescrevendo como equação em h:
dhdt = -AoAtanque,raiz2g,h
Separamos as variáveis:
dhraizh = -Aoraiz2gAtanque,dt
e integramos de h=5 até 0 e de t=0 até t=T:
integral5^0h^-1/2dh = -Aoraiz2gAtanqueintegral0^Tdt ;Longrightarrow; -2raiz5 = -Aoraiz2gAtanque,T
Assim,
T = 2raiz5,AtanqueAoraiz2g = AtanqueAoraiz2cdot510

Passo 5

Substituindo:
AtanqueAo = 4picdot10^-4 = 4times10^4pi, raiz1010 = 1,
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T = 4times10^4pi sapprox400003,14 sapprox12732 sapprox3,54 h

Resposta

T approx1,27times10^4 s(approx3,54 h)

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