Determine b, para que se tenha:
|2 x-3|<b<0<x<3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um número b (positivo) tal que, para todo x no intervalo 0 < x < 3, tenhamos
|2x - 3| < b
Ou seja, queremos um b que seja uma cota superior para a função f(x) = |2x - 3| em (0,3).

Passo 2

Para achar a cota superior de f(x)=|2x-3| em [0,3] (o máximo em (0,3) será o mesmo que em [0,3] porque f é contínua), basta avaliar os extremos do intervalo, já que 2x-3 é uma reta:
  1. Em x=0:
|2cdot0 - 3| = |-3| = 3
  1. Em x=3:
|2cdot3 - 3| = |6 - 3| = 3

Passo 3

Como f é contínua e linear, não há nenhum outro ponto onde |2x-3| seja maior do que nesses extremos. Logo,
max0<= x<=3 |2x-3| = 3,
e de fato, para todo x em (0,3) temos
|2x-3| < 3

Resposta

Podemos escolher
b = 3,
pois assim fica garantido que, para todo x com 0 < x < 3, vale |2x-3| < 3.

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