Determine b, para que se tenha:
|5 x+b|<2-1<x <=-1 / 5;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o valor de b de modo que
|5x + b| < 2
seja verdadeiro para todo x no intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
-1 < x <= -tfrac15
Como 5x + b é função afim (linear em x), o seu valor absoluto atinge os extremos próximos a uma das extremidades do intervalo. Portanto, basta analisar o comportamento em xto -1 e em x = -tfrac15.

Passo 2

Avaliaremos primeiro o limite à esquerda do intervalo, isto é, xto -1. Nesse caso,
5x + b ;longrightarrow; 5cdot(-1) + b ;=; b - 5
Para que |5x + b|<2 mesmo quando x se aproxima de -1, precisamos de
|,b - 5,|;<= 2

Passo 3

Agora avaliamos em x = -tfrac15. Temos
5x + b ;=; 5cdotl(-tfrac15r)+b ;=; b - 1
Para que |5x + b|<2 em x=-tfrac15, precisamos de
|,b - 1,|<2

Passo 4

Vamos resolver as duas desigualdades:
  1. |,b - 5,|<= 2
    -2 <= b - 5 <= 2 Longrightarrow 3 <= b <= 7
  2. |,b - 1,|<2
    -2 < b - 1 < 2 Longrightarrow -1 < b < 3

Passo 5

Fazendo a interseção dos dois resultados:
3 <= b <= 7 cap -1 < b < 3 ;Longrightarrow; b = 3

Resposta

b = 3

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