Justifique ou dê contra-exemplo para as implicações seguintes:
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas implicações envolvendo números reais
:
- se
, então ; - se
, então .
O conteúdo aqui é a relação entre valor absoluto, quadrado e monotonicidade em não-negativos.
Passo 2
Note que para todo real
vale
e
Ou seja, as quantidades
e
são não-negativas e seus quadrados coincidem com
e
.
Passo 3
A função
é estritamente crescente em
. Logo, para quaisquer
temos
Passo 4
Aplicando esse fato aos valores
e
, que são não-negativos:
– Se
, então elevando ao quadrado sem inverter a desigualdade:
– Se
, então
e, extraindo raiz quadrada (função crescente em não-negativos),
Resposta
Ambas as implicações são verdadeiras e equivalentes, pois decorrem da monotonicidade da função
em
e da identidade
.