Justifique ou dê contra-exemplo para as implicações seguintes:
|a|<|b|>a^2<b^2;

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas implicações envolvendo números reais a,b:
  1. se lvert arvert<lvert brvert, então a^2<b^2;
  2. se a^2<b^2, então lvert arvert<lvert brvert.
    O conteúdo aqui é a relação entre valor absoluto, quadrado e monotonicidade em não-negativos.

Passo 2

Note que para todo real x vale lvert xrvert>=0 e
lvert xrvert^2 = x^2
Ou seja, as quantidades lvert arvert e lvert brvert são não-negativas e seus quadrados coincidem com a^2 e b^2.

Passo 3

A função
fcolon [0,infty)to[0,infty), f(x)=x^2
é estritamente crescente em [0,infty). Logo, para quaisquer x,y>=0 temos
x<y Long<=ftrightarrow x^2<y^2

Passo 4

Aplicando esse fato aos valores lvert arvert e lvert brvert, que são não-negativos:
– Se lvert arvert<lvert brvert, então elevando ao quadrado sem inverter a desigualdade:
lvert arvert^2<lvert brvert^2 Longrightarrow a^2<b^2
– Se a^2<b^2, então
lvert arvert^2<lvert brvert^2
e, extraindo raiz quadrada (função crescente em não-negativos),
lvert arvert<lvert brvert

Resposta

Ambas as implicações são verdadeiras e equivalentes, pois decorrem da monotonicidade da função xmapsto x^2 em [0,infty) e da identidade lvert xrvert^2=x^2.

Exercícios relacionados