Determine, pelo Teorema do Posto, se o sistema abaixo é possível ou não:
l x+y+z=3 2 x+3 y+z=7 4 x+5 y+2 z=10

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas
x+y+z=3, 2x+3y+z=7, 4x+5y+2z=10,
e pede para usarmos o Teorema do Posto (ou Rouché–Capelli) para decidir se o sistema é compatível (possui solução) ou não.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [Amid b]:
A= 1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 4 & 5 & 2 , [Amid b]= 1 & 1 & 1 & 3 2 & 3 & 1 & 7 4 & 5 & 2 & 10
Pelo Teorema do Posto, o sistema é compatível se, e somente se,
rank(A)=rank([Amid b])

Passo 3

Para encontrar rank(A), basta calcular det(A).
det(A) =1cdotl(3cdot2-1cdot5r) -1cdotl(2cdot2-1cdot4r) +1cdotl(2cdot5-3cdot4r) =1cdot1-1cdot0+1cdot(-2)=-1neq0
Como det(A)neq0, concluímos que rank(A)=3.

Passo 4

Quando rank(A)=3 e o número de incógnitas é 3, necessariamente rank([Amid b])=3 também (não há como o posto da ampliada ser maior que 3). Logo
rank(A)=rank([Amid b])=3,
e o sistema é compatível determinado, isto é, possui exatamente uma solução.

Resposta

O sistema é possível e tem solução única.

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