Seja E a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano x y.
Use coordenadas esféricas para calcular
integralegral triplaE zx^2+y^2+z^2 d V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região sólida E , que é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem e que fica acima do plano xy . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especialmente usando coordenadas esféricas para facilitar a resolução de integrais em regiões esféricas. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a coordenada esférica. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto no espaço é descrita por três valores:
  • r : a distância do ponto até a origem,
  • theta : o ângulo no plano xy a partir do eixo x ,
  • phi : o ângulo a partir do eixo z .
As relações entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (r, theta, phi) são:
x = r sinphi costheta
y = r sinphi sintheta
z = r cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar na integral tripla. A função dada é:
zx^2 + y^2 + z^2
Sabemos que x^2 + y^2 + z^2 = r^2 em coordenadas esféricas, então a função simplifica para:
zr^2 = r cosphir^2 = cosphir
Então, a integral fica:
integral triplaE cosphir , dV

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para r , phi e theta :
  • r vai de 0 até 2, já que a esfera tem raio 2.
  • phi vai de 0 até pi2 , porque estamos apenas considerando a parte acima do plano xy (onde z >= 0 ).
  • theta vai de 0 até 2pi , cobrindo todo o círculo completo no plano xy .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE cosphir , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^2 cosphir cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^2 r cosphi sinphi , dr , dphi , dtheta
Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^2 r , dr = [ r^22 ]0^2 = 42 = 2
Agora, a integral fica:
2 integral0^2pi integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi , dtheta
Vamos resolver a integral em phi :
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi
Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Deixe u = cosphi , então du = -sinphi , dphi . Quando phi = 0 , u = 1 ; quando phi = pi2 , u = 0 .
A integral se torna:
- integral1^0 u , du = integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Agora, a integral fica:
2 cdot 12 integral0^2pi dtheta = 1 cdot [ theta ]0^2pi = 2pi

Resposta

O valor da integral tripla é 2pi .

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