Seja
a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano
.
Use coordenadas esféricas para calcular
Use coordenadas esféricas para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região sólida
, que é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem e que fica acima do plano
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especialmente usando coordenadas esféricas para facilitar a resolução de integrais em regiões esféricas. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a coordenada esférica. Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto no espaço é descrita por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem, -
: o ângulo no plano a partir do eixo , -
: o ângulo a partir do eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas
são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar na integral tripla. A função dada é:
Sabemos que
em coordenadas esféricas, então a função simplifica para:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para
,
e
:
-
vai de 0 até 2, já que a esfera tem raio 2. -
vai de 0 até , porque estamos apenas considerando a parte acima do plano (onde ). -
vai de 0 até , cobrindo todo o círculo completo no plano .
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral em
:
Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Deixe , então
. Quando
,
; quando
,
.
A integral se torna:
Deixe
A integral se torna:
Agora, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é
.