Prove que 101^{50}>99^{50}+100^{50}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade
101^{50} > 99^{50} + 100^{50}.
Informações dadas (explicitamente): os números envolvidos são \,99,\;100,\;101 elevados à potência \,50. Não há outras condições ocultas: queremos uma demonstração que mostre que a potência de \,101 é estritamente maior que a soma das potências de \,99 e \,100.

Passo 2

Vamos recordar uma ferramenta que vamos usar: o Teorema do Binômio de Newton. Ele diz que, para inteiros n\ge 0 e quaisquer números a,b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Aqui cada termo \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k} é não negativo quando a e b são não negativos. Isso é tudo o que precisamos sobre o binômio.

Passo 3

Aplique o Teorema do Binômio às potências (100+1)^{50} e (100-1)^{50}. Escrevemos explicitamente as duas expansões:
101^{50}=(100+1)^{50}=\sum_{k=0}^{50}\binom{50}{k}100^{\,50-k}\,1^{k} =\sum_{k=0}^{50}\binom{50}{k}100^{\,50-k},
99^{50}=(100-1)^{50}=\sum_{k=0}^{50}\binom{50}{k}100^{\,50-k}(-1)^{k}.
Note que em ambas as somas os fatores 100^{\,50-k} são não negativos e os coeficientes binomiais \binom{50}{k} são positivos inteiros.

Passo 4

Agora subtraímos as duas expansões para eliminar os termos de mesmo grau com sinais iguais:
101^{50}-99^{50}=\sum_{k=0}^{50}\binom{50}{k}100^{\,50-k}\bigl(1-(-1)^{k}\bigr).
Observe que 1-(-1)^{k}=0 quando k é par e 1-(-1)^{k}=2 quando k é ímpar. Logo a soma fica apenas com os termos de k ímpar:
101^{50}-99^{50}=2\sum_{j=0}^{24}\binom{50}{2j+1}100^{\,50-(2j+1)}.

Passo 5

Os termos dentro da soma são todos não negativos (na verdade positivos) porque cada \binom{50}{2j+1}>0 e 100^{\,50-(2j+1)}>0. Em particular, o primeiro termo (correspondente a j=0, isto é k=1) vale
2\binom{50}{1}100^{49}=2\cdot 50\cdot 100^{49}=100\cdot 100^{49}=100^{50}.
Como todos os outros termos da soma são não negativos, obtemos a desigualdade (lower bound)
101^{50}-99^{50}\ge 100^{50}.

Passo 6

A desigualdade do Passo 5 dá
101^{50}\ge 99^{50}+100^{50}.
Mas atenção: os outros termos da soma (para k=3,5,\dots,49) são estritamente positivos, porque \binom{50}{k}>0 para esses k. Portanto a soma total é estritamente maior que o primeiro termo isolado, o que implica
101^{50}-99^{50} > 100^{50},
e assim
101^{50} > 99^{50} + 100^{50}.

Resposta

101^{50}>99^{50}+100^{50}.

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