Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade
Informações dadas (explicitamente): os números envolvidos são
elevados à potência
. Não há outras condições ocultas: queremos uma demonstração que mostre que a potência de
é estritamente maior que a soma das potências de
e
.
Passo 2
Vamos recordar uma ferramenta que vamos usar: o Teorema do Binômio de Newton. Ele diz que, para inteiros
e quaisquer números
,
onde
é o coeficiente binomial. Aqui cada termo
é não negativo quando
e
são não negativos. Isso é tudo o que precisamos sobre o binômio.
Passo 3
Aplique o Teorema do Binômio às potências
e
. Escrevemos explicitamente as duas expansões:
Note que em ambas as somas os fatores
são não negativos e os coeficientes binomiais
são positivos inteiros.
Passo 4
Agora subtraímos as duas expansões para eliminar os termos de mesmo grau com sinais iguais:
Observe que
quando
é par e
quando
é ímpar. Logo a soma fica apenas com os termos de
ímpar:
Passo 5
Os termos dentro da soma são todos não negativos (na verdade positivos) porque cada
e
. Em particular, o primeiro termo (correspondente a
, isto é
) vale
Como todos os outros termos da soma são não negativos, obtemos a desigualdade (lower bound)
Passo 6
A desigualdade do Passo 5 dá
Mas atenção: os outros termos da soma (para
) são estritamente positivos, porque
para esses
. Portanto a soma total é estritamente maior que o primeiro termo isolado, o que implica
e assim