- De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são convencionais para esse tipo de problema):\n
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são convencionais para esse tipo de problema):\n
- Temos exatamente quatro jogadores distintos (digamos
).\n - Queremos contar de quantas maneiras podemos dispor esses quatro jogadores numa mesa circular (uma mesa de buraco), ou seja, disposições que podem ser obtidas por rotação são consideradas iguais.\n
- Não foi mencionado nada sobre considerar reflexões (inverter o sentido horário/anti-horário) como iguais; portanto usaremos a convenção padrão: apenas rotações são consideradas equivalentes.
Passo 2
Conceito útil 1 — permutações lineares: se tivéssemos
pessoas dispostas em fila (uma linha), o número de maneiras distintas de ordenar essas
pessoas é
porque para a primeira posição temos
escolhas, para a segunda
, e assim por diante até
. Aqui o símbolo
(fatorial) significa multiplicar os inteiros positivos de
até o número: por exemplo
.
Passo 3
Conceito útil 2 — por que circular difere de linear: numa mesa circular, arranjos que só diferem por uma rotação devem ser considerados iguais, porque a mesa não tem “cadeira 1” fixa visível. Se você rotaciona todos os jogadores juntos, a disposição relativa entre eles é a mesma.
Dois métodos para lidar com isso:
- Método da divisão: conte as permutações lineares
e divida por (o número de rotações possíveis), obtendo . - Método de fixar um jogador: escolha um jogador e fixe a sua posição como referência; então permute os restantes
jogadores nas posições restantes, dando .
Os dois métodos dão exatamente a mesma fórmula para arranjos circulares quando apenas rotações são identificadas:
Passo 4
Aplicando ao caso com
jogadores: aqui
. Portanto o número de disposições distintas em mesa circular (rotações iguais) é
Calculemos
:
Passo 5
Verificação concreta (para você visualizar): fixe o jogador
numa posição (por exemplo, “cima” da mesa). As permutações dos demais
ao redor, no sentido horário, são exatamente as
possíveis:
Cada uma dessas representa uma disposição circular distinta quando consideramos rotações como iguais. Isso confirma o total
.
Passo 6
Observação final que pode aparecer em prova: se, além das rotações, também considerássemos reflexões (isto é, se girar e virar a mesa no espelho produzisse a mesma disposição), então dividiríamos ainda por
e o total seria
. Para
isso daria
. Mas, como disse antes, a convenção padrão para “mesa de buraco” é apenas identificar rotações, não reflexões, salvo indicação em contrário.