1. De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco com 4 jogadores?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são convencionais para esse tipo de problema):\n
  • Temos exatamente quatro jogadores distintos (digamos A,B,C,D).\n
  • Queremos contar de quantas maneiras podemos dispor esses quatro jogadores numa mesa circular (uma mesa de buraco), ou seja, disposições que podem ser obtidas por rotação são consideradas iguais.\n
  • Não foi mencionado nada sobre considerar reflexões (inverter o sentido horário/anti-horário) como iguais; portanto usaremos a convenção padrão: apenas rotações são consideradas equivalentes.

Passo 2

Conceito útil 1 — permutações lineares: se tivéssemos n pessoas dispostas em fila (uma linha), o número de maneiras distintas de ordenar essas n pessoas é
n!
porque para a primeira posição temos n escolhas, para a segunda n-1, e assim por diante até 1. Aqui o símbolo ! (fatorial) significa multiplicar os inteiros positivos de 1 até o número: por exemplo \,3!=3\cdot2\cdot1=6.

Passo 3

Conceito útil 2 — por que circular difere de linear: numa mesa circular, arranjos que só diferem por uma rotação devem ser considerados iguais, porque a mesa não tem “cadeira 1” fixa visível. Se você rotaciona todos os jogadores juntos, a disposição relativa entre eles é a mesma.
Dois métodos para lidar com isso:
  • Método da divisão: conte as permutações lineares n! e divida por n (o número de rotações possíveis), obtendo \dfrac{n!}{n}=(n-1)!.
  • Método de fixar um jogador: escolha um jogador e fixe a sua posição como referência; então permute os restantes n-1 jogadores nas posições restantes, dando (n-1)!.
Os dois métodos dão exatamente a mesma fórmula para arranjos circulares quando apenas rotações são identificadas:
\text{arranjos circulares}=(n-1)!

Passo 4

Aplicando ao caso com 4 jogadores: aqui n=4. Portanto o número de disposições distintas em mesa circular (rotações iguais) é
(4-1)! = 3!.
Calculemos 3!:
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 5

Verificação concreta (para você visualizar): fixe o jogador A numa posição (por exemplo, “cima” da mesa). As permutações dos demais B,C,D ao redor, no sentido horário, são exatamente as (3!) possíveis:
(A,B,C,D),\quad (A,B,D,C),\quad (A,C,B,D),\quad (A,C,D,B),\quad (A,D,B,C),\quad (A,D,C,B).
Cada uma dessas representa uma disposição circular distinta quando consideramos rotações como iguais. Isso confirma o total \,6.

Passo 6

Observação final que pode aparecer em prova: se, além das rotações, também considerássemos reflexões (isto é, se girar e virar a mesa no espelho produzisse a mesma disposição), então dividiríamos ainda por 2 e o total seria \dfrac{(n-1)!}{2}. Para n=4 isso daria \dfrac{3!}{2}=3. Mas, como disse antes, a convenção padrão para “mesa de buraco” é apenas identificar rotações, não reflexões, salvo indicação em contrário.

Resposta

6

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