Determine os termos de uma configuração 3 \mathrm{~d}^{2} 4 \mathrm{p}^{1}, sabendo que os termos dos elétrons equivalentes d são { }^{3} \mathrm{~F},{ }^{3} \mathrm{P},{ }^{1} \mathrm{G},{ }^{1} \mathrm{D} e { }^{1} \mathrm{~S}. R: { }^{4} \mathrm{G},{ }^{4} \mathrm{~F},{ }^{4} \mathrm{D}(2),{ }^{4} \mathrm{P},{ }^{4} \mathrm{~S},{ }^{2} \mathrm{H},{ }^{2} \mathrm{G}(2),{ }^{2} \mathrm{~F}(3),{ }^{2} \mathrm{D}(3),{ }^{2} \mathrm{P}(3),{ }^{2} \mathrm{~S}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os termos eletrônicos da configuração 3d ^24p ^1 , sabendo que os termos dos dois elétrons d equivalentes (o “núcleo” d ^2) são {}^{3}\mathrm{F}), {}^{3}\mathrm{P}), {}^{1}\mathrm{G}), {}^{1}\mathrm{D}) e {}^{1}\mathrm{S}).
Informações relevantes e dadas:
  • Termos-pai (dos dois d): {}^{3}\mathrm{F}), {}^{3}\mathrm{P}), {}^{1}\mathrm{G}), {}^{1}\mathrm{D}), {}^{1}\mathrm{S}).
  • O elétron extra é um elétron p (portanto com l=1) e s=\tfrac{1}{2})).
  • Queremos listar todos os termos resultantes da acoplagem LS entre o termo-pai d ^2 e esse elétron p.

Passo 2

Conceitos essenciais (devagar e com exemplos curtos): o que significa um termo e como combinamos L e S.
  • Um termo é indicado por {}^{2S+1}\mathrm{L}), onde:
    • S) é o momento de spin total (soma vetorial dos spins dos elétrons), e a multiplicidade é 2S+1).
    • L) é o momento angular orbital total; usamos letras \mathrm{S},\mathrm{P},\mathrm{D},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H}) para L=0,1,2,3,4,5) respectivamente.
  • Regra de soma vetorial de momentos orbitais: ao combinar um termo-pai com L_{\text{pai}} com um elétron de momento orbital l), os possíveis valores de L_{total}) são inteiros entre |L_{pai}-l|) e L_{pai}+l) (todas as etapas de 1). Aqui l=1 (elétron p), logo os possíveis L_{total}) são L_{pai}+1,;L_{pai},;|L_{pai}-1|). Ex.: se L_{\text{pai}}=3 (F), então L_{\text{total}}=4(G),3(F),2(D).
  • Regra de soma de spins: combinamos S_{\text{pai}} com s=\tfrac{1}{2} do elétron p. Os possíveis S_{\text{total}} são |S_{\text{pai}}-\tfrac{1}{2}| e S_{\text{pai}}+\tfrac{1}{2} (quando ambos são permitidos). Ex.: se S_{\text{pai}}=1 (triplete), os S_{\text{total}} possíveis são \tfrac{1}{2} (doublet) e \tfrac{3}{2} (quartet). Se S_{\text{pai}}=0 (singlete), só vem \tfrac{1}{2} (doublet).
  • Conclusão prática: termos quartetos ( {}^{4}!)) só aparecem das vontades com S_{\text{pai}}=1 (tripletos). Termos doubletos ( {}^{2}!)) surgem tanto de pais tripletos (pela combinação que dá S_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}) quanto de pais singletos.

Passo 3

Aplicando as regras de soma orbital ( l=1)) a cada termo-pai d ^2 (listarei L_{\text{pai}} e os L_{total}) possíveis):
  • Para {}^{3}\mathrm{F}): aqui L_{pai}=3). Portanto L_{total}=4(G),;3(F),;2(D)).
  • Para {}^{3}\mathrm{P}): aqui L_{pai}=1). Portanto L_{total}=2(D),;1§,;0(S)).
  • Para {}^{1}\mathrm{G}): L_{pai}=4). Então L_{total}=5(H),;4(G),;3(F)).
  • Para {}^{1}\mathrm{D}): L_{pai}=2). Então L_{total}=3(F),;2(D),;1§).
  • Para {}^{1}\mathrm{S}): L_{pai}=0). Então L_{total}=1§) apenas (porque |0-1|=1 e 0+1=1).

Passo 4

Aplicando as regras de soma de spins a cada termo-pai (para saber se gera quartetos e/ou doubletos):
  • Para pais tripletos {}^{3}\mathrm{F}) e {}^{3}\mathrm{P}): temos S_{\text{pai}}=1. Ao somar s=\tfrac{1}{2} obtém-se S_{\text{total}}=\tfrac{3}{2} (quartetos, multiplicidade 2\cdot\tfrac{3}{2}+1=4) e S_{\text{total}}=\tfrac{1}{2} (doubletos, multiplicidade 2). Ou seja, cada L_{\text{total}} gerado por esses pais aparece duas vezes em multiplicidade distinta: uma como {}^{4}\mathrm{L} e outra como {}^{2}\mathrm{L}.
  • Para pais singletos {}^{1}\mathrm{G}), {}^{1}\mathrm{D}), {}^{1}\mathrm{S}): temos S_{\text{pai}}=0. Somando s=\tfrac{1}{2} só dá S_{\text{total}}=\tfrac{1}{2} (doubleto). Ou seja, essas contribuem apenas com termos {}^{2}\mathrm{L}.

Passo 5

Listagem direta dos termos gerados por cada pai, incluindo multiplicidade (ainda sem combinar duplicatas idênticas vindas de diferentes pais):
  • De {}^{3}\mathrm{F}) ( L=3,\;S=1):
    quartetos: {}{4}\mathrm{G},;{}{4}\mathrm{F},;{}^{4}\mathrm{D}).
    doubletos: {}{2}\mathrm{G},;{}{2}\mathrm{F},;{}^{2}\mathrm{D}).
  • De {}^{3}\mathrm{P}) ( L=1,\;S=1):
    quartetos: {}{4}\mathrm{D},;{}{4}\mathrm{P},;{}^{4}\mathrm{S}).
    doubletos: {}{2}\mathrm{D},;{}{2}\mathrm{P},;{}^{2}\mathrm{S}).
  • De {}^{1}\mathrm{G}) ( L=4,\;S=0):
    doubletos: {}{2}\mathrm{H},;{}{2}\mathrm{G},;{}^{2}\mathrm{F}).
  • De {}^{1}\mathrm{D}) ( L=2,\;S=0):
    doubletos: {}{2}\mathrm{F},;{}{2}\mathrm{D},;{}^{2}\mathrm{P}).
  • De {}^{1}\mathrm{S}) ( L=0,\;S=0):
    doubletos: {}^{2}\mathrm{P}).

Passo 6

Agora vamos combinar termos idênticos que surgem de pais diferentes e contar quantas ocorrências (isso explica os números entre parênteses na resposta). Vou separar quartetos e doubletos:
Quartetos (vêm só dos pais tripletos {}^{3}\mathrm{F}) e {}^{3}\mathrm{P})):
  • {}^{4}\mathrm{G}): aparece só de {}^{3}\mathrm{F} → uma vez.
  • {}^{4}\mathrm{F}): aparece só de {}^{3}\mathrm{F} → uma vez.
  • {}^{4}\mathrm{D}): aparece de {}^{3}\mathrm{F} e de {}^{3}\mathrm{P} → duas vezes ⇒ {}^{4}\mathrm{D}(2)).
  • {}^{4}\mathrm{P}): aparece só de {}^{3}\mathrm{P} → uma vez.
  • {}^{4}\mathrm{S}): aparece só de {}^{3}\mathrm{P} → uma vez.
Doubletos (vêm de pais tripletos e singletos; somamos todas as contribuições):
  • {}^{2}\mathrm{H}): só de {}^{1}\mathrm{G} {}^{2}\mathrm{H}) (uma vez).
  • {}^{2}\mathrm{G}): de {}^{3}\mathrm{F} e de {}^{1}\mathrm{G} → duas vezes ⇒ {}^{2}\mathrm{G}(2)).
  • {}^{2}\mathrm{F}): de {}^{3}\mathrm{F},\;{}^{1}\mathrm{G},\;{}^{1}\mathrm{D} → três vezes ⇒ {}^{2}\mathrm{F}(3)).
  • {}^{2}\mathrm{D}): de {}^{3}\mathrm{F},\;{}^{3}\mathrm{P},\;{}^{1}\mathrm{D} → três vezes ⇒ {}^{2}\mathrm{D}(3)).
  • {}^{2}\mathrm{P}): de {}^{3}\mathrm{P},\;{}^{1}\mathrm{D},\;{}^{1}\mathrm{S} → três vezes ⇒ {}^{2}\mathrm{P}(3)).
  • {}^{2}\mathrm{S}): só de {}^{3}\mathrm{P} {}^{2}\mathrm{S}) (uma vez).

Passo 7

Organizando tudo numa lista final (quartetos primeiro, depois doubletos), já com as multiplicidades indicadas quando maiores que 1:
Quartetos: {}{4}\mathrm{G},;{}{4}\mathrm{F},;{}{4}\mathrm{D}(2),;{}{4}\mathrm{P},;{}^{4}\mathrm{S}).
Doubletos: {}{2}\mathrm{H},;{}{2}\mathrm{G}(2),;{}{2}\mathrm{F}(3),;{}{2}\mathrm{D}(3),;{}{2}\mathrm{P}(3),;{}{2}\mathrm{S}).

Resposta

{}^{4}\mathrm{G},\;{}^{4}\mathrm{F},\;{}^{4}\mathrm{D}(2),\;{}^{4}\mathrm{P},\;{}^{4}\mathrm{S},\;{}^{2}\mathrm{H},\;{}^{2}\mathrm{G}(2),\;{}^{2}\mathrm{F}(3),\;{}^{2}\mathrm{D}(3),\;{}^{2}\mathrm{P}(3),\;{}^{2}\mathrm{S}

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