Determine the domain and find the derivative.
f(x)=1ln x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=1ln x e pede duas coisas: o domínio de definição e a derivada de f. Aqui vamos usar o fato de que o logaritmo natural ln x está definido apenas para x>0 e que a derivada de ln x é tfrac1x, além da regra da cadeia para potências de função.

Passo 2

Para achar o domínio de f, precisamos que a expressão dentro do logaritmo seja positiva e que o denominador não seja zero.
  1. De ln x definido segue x>0.
  2. De 1ln x bem-definido segue ln xneq0, ou seja xneq1.
    Logo o domínio é
(0,1)cup(1,infty)

Passo 3

Para derivar, escrevemos
f(x) = (ln x)^-1
e aplicamos a regra da cadeia: se g(u)=u^-1 e u(x)=ln x, então
g'(u) = -u^-2, u'(x)=1x
Assim
f'(x) = g'(u(x))cdot u'(x) = -(ln x)^-2cdot1x = -1x,(ln x)^2

Resposta

Domínio: (0,1)cup(1,infty).
Derivada: f'(x)=-1x(ln x)^2.

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