Determine the domain and find the derivative.
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a derivada de
. Vamos usar teoria de domínio de
e a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Para o domínio, lembramos que
só existe se o argumento for positivo, ou seja,
. Assim obtemos
. Logo o domínio é
.
Passo 3
Para derivar, identificamos duas funções:
e
. Vamos aplicar a regra do produto:
.
Passo 4
Calculamos cada derivada:
, pois usamos a cadeia em
.
, pois derivada de
também pede cadeia.
Passo 5
Substituindo na regra do produto:
Passo 6
Simplificando o segundo termo dá
. Fatorando
em ambos os termos:
Resposta
Domínio:
.
Derivada: .
Derivada: