Determine the domain and find the derivative.
f(x)=(2 x+1)^2 ln (2 x+1).

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a derivada de f(x)=(2x+1)^2ln(2x+1). Vamos usar teoria de domínio de ln e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Para o domínio, lembramos que ln(2x+1) só existe se o argumento for positivo, ou seja, 2x+1>0. Assim obtemos x> -tfrac12. Logo o domínio é (-tfrac12,infty).

Passo 3

Para derivar, identificamos duas funções: u(x)=(2x+1)^2 e v(x)=ln(2x+1). Vamos aplicar a regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 4

Calculamos cada derivada:
u'(x)=2(2x+1)cdot2=4(2x+1), pois usamos a cadeia em (2x+1)^2.
v'(x)=12x+1cdot2=22x+1, pois derivada de ln(2x+1) também pede cadeia.

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x)=4(2x+1)ln(2x+1)+(2x+1)^2cdot22x+1

Passo 6

Simplificando o segundo termo dá 2(2x+1). Fatorando 2(2x+1) em ambos os termos:
f'(x)=2(2x+1)l(2ln(2x+1)+1r)

Resposta

Domínio: (-tfrac12,infty).
Derivada: f'(x)=2(2x+1)l(2ln(2x+1)+1r).

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