Determine the gage pressure inside a soap bubble of diameter (a) 0.2 cm at
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a pressão manométrica (gage pressure) dentro de uma bolha de sabão de diâmetro
à temperatura
.
Dados fornecidos e observações que vamos usar (sem perguntar nada a você):
Dados fornecidos e observações que vamos usar (sem perguntar nada a você):
- Diâmetro da bolha:
. - Temperatura:
(usada só para escolher um valor típico da tensão superficial). - Vou assumir um valor típico para a tensão superficial de uma solução de sabão à
: (valor razoável para filme de sabão; a água pura teria , mas o sabão reduz a tensão).
O que se pede é a diferença de pressão entre o interior da bolha e o exterior (a pressão manométrica).
Passo 2
Conceito físico e fórmula a usar (explicação didática): a tensão superficial puxa a superfície curva, produzindo uma pressão adicional no interior da gota/bolha. Para uma superfície esférica única (ex.: gota líquida em ar) a diferença de pressão entre interior e exterior é
onde
é a pressão interior menos exterior,
é a tensão superficial e
é o raio da esfera. Cada termo significa:
tem unidades de N/m (força por comprimento) e
tem unidades de metros; o quociente dá N/m^2 (Pa), que é uma pressão.
No caso de uma bolha de sabão temos um filme muito fino com duas superfícies (externa e interna), cada uma contribuindo com
. Assim a diferença de pressão para uma bolha de sabão esférica dupla é
Vou justificar essa fórmula com um balanceamento simples de forças (método que dá intuição e é fácil de reproduzir na prova): cortamos a bolha ao meio por um plano, formando um círculo de raio
. A força resultante da pressão interna excedente que empurra a metade superior para cima vale
multiplicado pela área do círculo:
A força que segura essa metade para baixo vem da tensão superficial agindo ao longo da circunferência do corte; a circunferência tem comprimento
e há duas superfícies (interna e externa), então a componente vertical total da força de tensão é
Igualando forças (equilíbrio),
Pronto: essa é a fórmula que usaremos. Lembre-se: a pressão manométrica pedida é exatamente
.
Passo 3
Calcular o raio e converter unidades (passo a passo, sem pular):
Diâmetro dado:
Diâmetro dado:
Raio:
Passo 4
Substituir os valores na fórmula
e calcular cuidadosamente:
Usando e
,
Usando
Interpretação: isso significa que a pressão dentro da bolha é
maior do que a pressão atmosférica; essa é a pressão manométrica.
Passo 5
Verificação rápida de ordem de grandeza (educativa): se tivéssemos usado a tensão superficial da água pura
, obteríamos
. Como a bolha é de sabão, o valor menor
e o resultado
são mais realistas. Não se esqueça: sempre que na prova aparecer “bolha de sabão” use o fator
(duas superfícies).