Determine the gage pressure inside a soap bubble of diameter (a) 0.2 cm at 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão manométrica (gage pressure) dentro de uma bolha de sabão de diâmetro 0,2\\ \text{cm} à temperatura 20^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos e observações que vamos usar (sem perguntar nada a você):
  • Diâmetro da bolha: d=0,2\\ \text{cm}.
  • Temperatura: 20^\circ\mathrm{C} (usada só para escolher um valor típico da tensão superficial).
  • Vou assumir um valor típico para a tensão superficial de uma solução de sabão à 20^\circ\mathrm{C}: \gamma=0,030\\ \text{N}\!/\!\text{m} (valor razoável para filme de sabão; a água pura teria \gamma\approx0,0728\\ \text{N}\!/\!\text{m}, mas o sabão reduz a tensão).
    O que se pede é a diferença de pressão entre o interior da bolha e o exterior (a pressão manométrica).

Passo 2

Conceito físico e fórmula a usar (explicação didática): a tensão superficial puxa a superfície curva, produzindo uma pressão adicional no interior da gota/bolha. Para uma superfície esférica única (ex.: gota líquida em ar) a diferença de pressão entre interior e exterior é
\Delta p= \frac{2\gamma}{R},
onde \Delta p é a pressão interior menos exterior, \gamma é a tensão superficial e R é o raio da esfera. Cada termo significa: \gamma tem unidades de N/m (força por comprimento) e R tem unidades de metros; o quociente dá N/m^2 (Pa), que é uma pressão.
No caso de uma bolha de sabão temos um filme muito fino com duas superfícies (externa e interna), cada uma contribuindo com \gamma. Assim a diferença de pressão para uma bolha de sabão esférica dupla é
\Delta p=\frac{4\gamma}{R}.
Vou justificar essa fórmula com um balanceamento simples de forças (método que dá intuição e é fácil de reproduzir na prova): cortamos a bolha ao meio por um plano, formando um círculo de raio R. A força resultante da pressão interna excedente que empurra a metade superior para cima vale \Delta p multiplicado pela área do círculo:
F_{\text{press}}=\Delta p\cdot \pi R^2.
A força que segura essa metade para baixo vem da tensão superficial agindo ao longo da circunferência do corte; a circunferência tem comprimento 2\pi R e há duas superfícies (interna e externa), então a componente vertical total da força de tensão é
F_{\gamma}=2\times(2\pi R\gamma)=4\pi R\gamma.
Igualando forças (equilíbrio),
\Delta p\cdot \pi R^2 = 4\pi R\gamma \quad\Rightarrow\quad \Delta p=\frac{4\gamma}{R}.
Pronto: essa é a fórmula que usaremos. Lembre-se: a pressão manométrica pedida é exatamente \Delta p.

Passo 3

Calcular o raio e converter unidades (passo a passo, sem pular):
Diâmetro dado:
d=0,2\\ \text{cm}=0,002\\ \text{m}.
Raio:
R=\frac{d}{2}=\frac{0,002\\ \text{m}}{2}=0,001\\ \text{m}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula \displaystyle \Delta p=\frac{4\gamma}{R} e calcular cuidadosamente:
Usando \gamma=0,030\\ \text{N}\!/\!\text{m} e R=0,001\\ \text{m},
\Delta p=\frac{4\times 0,030}{0,001}=\frac{0,120}{0,001}=120\\ \text{Pa}.
Interpretação: isso significa que a pressão dentro da bolha é 120\\ \text{Pa} maior do que a pressão atmosférica; essa é a pressão manométrica.

Passo 5

Verificação rápida de ordem de grandeza (educativa): se tivéssemos usado a tensão superficial da água pura \gamma\approx0,0728\\ \text{N}\!/\!\text{m}, obteríamos \Delta p\approx 291\\ \text{Pa}. Como a bolha é de sabão, o valor menor \gamma\approx0,030\\ \text{N}\!/\!\text{m} e o resultado \Delta p=120\\ \text{Pa} são mais realistas. Não se esqueça: sempre que na prova aparecer “bolha de sabão” use o fator 4\gamma/R (duas superfícies).

Resposta

120\\ \text{Pa}

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