determine the order of the given differential equation; also state whether the equation is linear or nonlinear.
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}+t \frac{d y}{d t}+\left(\cos ^{2} t\right) y=t^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{d^{3}y}{dt^{3}} \;+\; t\,\frac{dy}{dt}\;+\;\bigl(\cos^{2}t\bigr)\,y \;=\; t^{3}
e pede para determinar (a) a ordem da equação e (b) se ela é linear ou não.

Passo 2

Para achar a ordem de uma equação diferencial, basta olhar qual a maior derivada de y que aparece. Aqui o termo de maior derivada é
\frac{d^{3}y}{dt^{3}}\!,
ou seja, a derivada de ordem 3. Logo, a equação é de ordem 3.

Passo 3

Uma equação diferencial é dita linear se y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de t, sem produtos ou potências de y ou de suas derivadas. Neste caso podemos reescrever
1\cdot\frac{d^{3}y}{dt^{3}} \;+\;0\cdot\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \;+\;t\cdot\frac{dy}{dt}\;+\;\bigl(\cos^{2}t\bigr)\,y \;=\;t^{3},
o que está na forma canônica
a_{3}(t)\,y^{(3)} + a_{2}(t)\,y'' + a_{1}(t)\,y' + a_{0}(t)\,y = g(t),
sem nenhum termo não‐linear em y (como (y')^{2}, y\,y'' etc.). Portanto, é uma equação linear.

Resposta

Ordem 3; a equação é linear.

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