Determine the set of points at which the function is continuous.
G(x, y)=\tan ^{-1}\left((x+y)^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
G(x,y)=\tan^{-1}\bigl((x+y)^{-2}\bigr)
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e composição de funções contínuas.

Passo 2

Para que (x+y)^{-2} esteja bem definida, precisamos ter
x+y \neq 0,
pois não podemos dividir por zero. Logo, o domínio natural de G é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y\neq0\}.

Passo 3

Note que as operações seguintes são contínuas em seus respectivos domínios:
  • (x,y)\mapsto x+y é contínua em \mathbb{R}^2.
  • t\mapsto t^{-2} é contínua para t\neq0.
  • \tau\mapsto \tan^{-1}(\tau) é contínua em \mathbb{R}.
Como G é composição dessas três funções, ela é contínua em todo ponto de D.

Resposta

A função G é contínua exatamente em todos os pontos (x,y) tais que
x+y\neq0.

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