Explain why each function is continuous or discontinuous.
(c) The cost of a taxi ride as a function of distance traveled and time
(c) The cost of a taxi ride as a function of distance traveled and time
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função que dá o custo de uma corrida de táxi em função da distância percorrida
e do tempo parado
. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e usaremos a definição clássica (limite igual ao valor da função) junto com o fato de que a tarifa é cobrada em incrementos discretos.
Passo 2
Um modelo simplificado da tarifa é:
onde
é a bandeirada inicial,
é o trecho de distância que dispara um acréscimo
,
é o intervalo de tempo parado que dispara um acréscimo
.
O operador “trunca”
para o inteiro mais próximo abaixo, e é conhecido por ser descontínuo sempre que
é inteiro.
O operador
Passo 3
Se
ficar estritamente dentro de um retângulo do tipo
então
e
em toda uma vizinhança de
. Logo ali a função é constante, e toda função constante é contínua nesse ponto.
Passo 4
Se
estiver numa “linha de salto”, digamos
(o caso
é análogo), ao aproximar
mantemos
mas para
passa a valer
. Assim
logo o limite não existe e
é descontínua em todo ponto onde
ou
cruza um múltiplo exato de
ou
.
Resposta
A função é contínua em cada região aberta onde não ocorre acréscimo de tarifa (entre os múltiplos de
e
) e é descontínua ao longo das linhas
pois aí o custo “salta” de um valor para outro.