Explain why each function is continuous or discontinuous.
(c) The cost of a taxi ride as a function of distance traveled and time

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função que dá o custo de uma corrida de táxi em função da distância percorrida d e do tempo parado t. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e usaremos a definição clássica (limite igual ao valor da função) junto com o fato de que a tarifa é cobrada em incrementos discretos.

Passo 2

Um modelo simplificado da tarifa é:
C(d,t)=C_0 \;+\; c_d\,\Big\lfloor \frac{d}{\Delta d}\Big\rfloor \;+\; c_t\,\Big\lfloor \frac{t}{\Delta t}\Big\rfloor,
onde
\bullet C_0 é a bandeirada inicial,
\bullet \Delta d é o trecho de distância que dispara um acréscimo c_d,
\bullet \Delta t é o intervalo de tempo parado que dispara um acréscimo c_t.
O operador \lfloor x\rfloor “trunca” x para o inteiro mais próximo abaixo, e é conhecido por ser descontínuo sempre que x é inteiro.

Passo 3

Se (d_0,t_0) ficar estritamente dentro de um retângulo do tipo
k\Delta d<d< (k+1)\Delta d \quad\text{e}\quad \ell\Delta t<t<(\ell+1)\Delta t,
então \lfloor d/\Delta d\rfloor=k e \lfloor t/\Delta t\rfloor=\ell em toda uma vizinhança de (d_0,t_0). Logo ali a função é constante, e toda função constante é contínua nesse ponto.

Passo 4

Se (d_0,t_0) estiver numa “linha de salto”, digamos d_0=k\Delta d (o caso t_0=\ell\Delta t é análogo), ao aproximar d\to d_0^- mantemos \lfloor d/\Delta d\rfloor=k-1 mas para d\to d_0^+ passa a valer k. Assim
\lim_{d\to d_0^-}C(d,t_0) \;=\; C_0 + c_d\,(k-1) + c_t\Big\lfloor \frac{t_0}{\Delta t}\Big\rfloor \neq C_0 + c_d\,k + c_t\Big\lfloor \frac{t_0}{\Delta t}\Big\rfloor \;=\; \lim_{d\to d_0^+}C(d,t_0),
logo o limite não existe e C é descontínua em todo ponto onde d ou t cruza um múltiplo exato de \Delta d ou \Delta t.

Resposta

A função é contínua em cada região aberta onde não ocorre acréscimo de tarifa (entre os múltiplos de \Delta d e \Delta t) e é descontínua ao longo das linhas
d = k\,\Delta d \quad\text{ou}\quad t = \ell\,\Delta t,
pois aí o custo “salta” de um valor para outro.

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