Determine the set of points at which the function is continuous.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & \text { if }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { if }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de continuidade. Vamos usar dois fatos: (i) toda função polinomial ou quociente de polinômios (desde que o denominador não zere) é contínua, e (ii) um ponto isolado precisa que o limite bidimensional coincida com o valor dado.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos
x^{2}+xy+y^{2}>0
pois esse é um forma quadrática definida positiva. Logo o denominador nunca se anula fora da origem, e
f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}}
é quociente de polinômios com denominador não nulo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe e vale f(0,0)=0. Aproximando pela reta y=mx (com m fixo),
f(x,mx) =\frac{x\,(m x)}{x^{2}+x\,(m x)+(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{x^{2}(1+m+m^{2})} =\frac{m}{1+m+m^{2}}.
Esse valor depende de m, de modo que ao mudarmos a reta de aproximação obtemos limites distintos (por exemplo, para m=0 0, mas para m=-1 -1). Logo o limite não existe em (0,0) e f é descontinua aí.

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x,y)\neq(0,0)\}.

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