e pede o conjunto de continuidade. Vamos usar dois fatos: (i) toda função polinomial ou quociente de polinômios (desde que o denominador não zere) é contínua, e (ii) um ponto isolado precisa que o limite bidimensional coincida com o valor dado.]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos
x^{2}+xy+y^{2}>0
pois esse é um forma quadrática definida positiva. Logo o denominador nunca se anula fora da origem, e
f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}}
é quociente de polinômios com denominador não nulo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe e vale f(0,0)=0. Aproximando pela reta y=mx (com m fixo),
Esse valor depende de m, de modo que ao mudarmos a reta de aproximação obtemos limites distintos (por exemplo, para m=0 dá 0, mas para m=-1 dá -1). Logo o limite não existe em (0,0) e f é descontinua aí.