Determine the set of points at which the function is continuous.
G(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
G(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}-4\bigr)
e pede o conjunto de pontos em que ela é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções compostas: sabemos que a função logaritmo natural \ln é contínua em (0,\infty) e que o polinômio x^{2}+y^{2}-4 é contínuo em todo \mathbb{R}^{2}. Para que a composição faça sentido e seja contínua, precisamos que o argumento do \ln esteja em (0,\infty).

Passo 2

Determinar o domínio de definição de G exige
x^{2}+y^{2}-4>0,
isto é,
x^{2}+y^{2}>4.
Essa desigualdade descreve a região externa ao círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Como x^{2}+y^{2}-4 é contínuo em \mathbb{R}^{2} e \ln é contínuo em (0,\infty), pela propriedade de que a composição de funções contínuas é contínua, concluímos que G é contínua em todo ponto cuja imagem pelo polinômio esteja em (0,\infty), ou seja, em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}

Exercícios relacionados