Determine the set of points at which the function is continuous.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { if }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { if }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Queremos determinar em quais pontos de \mathbb{R}^2 ela é contínua. Para isso, analisaremos separadamente o caso (x,y)\neq(0,0) e o caso (x,y)=(0,0).

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), o denominador 2x^2+y^2 é estritamente positivo. Logo \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} é quociente de polinômios sem divisão por zero, portanto é contínua em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Para verificar a continuidade em (0,0), calculamos
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} =\frac{r^5\cos^2\theta\sin^3\theta}{r^2\bigl(2\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr)} =r^3\frac{\cos^2\theta\sin^3\theta}{2\cos^2\theta+\sin^2\theta}.
Como \bigl|\cos^2\theta\sin^3\theta/(2\cos^2\theta+\sin^2\theta)\bigr| é limitada por alguma constante M, temos
\biggl|\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\biggr|\le M\,r^3
e r\to0 implica M\,r^3\to0. Portanto
L=0.

Passo 4

Como f(0,0)=1\neq0=L, o limite não coincide com o valor da função em (0,0). Logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2 exceto na origem.
Isto é, o conjunto de continuidade é
\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Exercícios relacionados