Explain why each function is continuous or discontinuous.
(a) The outdoor temperature as a function of longitude, latitude, and time

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
T\colon D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},
onde cada ponto de D é dado por uma tripla (\text{longitude},\text{latitude},\text{tempo}) e T(\lambda,\varphi,t) é a temperatura ao ar livre nesse local e instante. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis, que se define por
\lim_{(x,y,z)\to(x_0,y_0,z_0)}T(x,y,z)=T(x_0,y_0,z_0).

Passo 2

Para verificar continuidade, lembramos que fisicamente a temperatura varia de modo suave: pequenas mudanças em longitude, latitude ou tempo provocam pequenas mudanças na temperatura. Em termos matemáticos, isso significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
\|( \lambda,\varphi,t)-(\lambda_0,\varphi_0,t_0)\|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|T(\lambda,\varphi,t)-T(\lambda_0,\varphi_0,t_0)\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Não há saltos bruscos de temperatura ao variar continuamente o local ou o instante (desconsiderando eventos físicos extremos instantâneos, como explosões). Assim, o modelo físico aceita T(\lambda,\varphi,t) como função contínua em todo o domínio de interesse.

Resposta

A função temperatura ao ar livre em função de longitude, latitude e tempo é contínua.

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