Use a fórmula B(t)=T(t) x N(t) para obter B(t), sabendo que
r(t)=(sen t-t cos t) imath+(cos t+t sen t) jmath+k ; T(t)=r^prime(t)|r^prime(t)| e N(t)=T^prime(t)|T^prime(t)|

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
vec r(t)=(sen t - tcos t),vecimath + (cos t + tsen t),vecjmath + 1;vec k
e pede o binormal
vec B(t)=vec T(t)timesvec N(t),
onde
vec T(t)=dfracvec r'(t)|vec r'(t)|
e
vec N(t)=dfracvec T'(t)|vec T'(t)|.
Para isso vamos derivar, normalizar e ao final fazer o produto vetorial.

Passo 2

Derivando vec r(t) coordenada a coordenada temos
vec r'(t) =l(tsen tr),vecimath+l(tcos tr),vecjmath+0,vec k
e
|vec r'(t)| =raiz(tsen t)^2+(tcos t)^2 =raizt^2(sen^2t+cos^2t) =|t|
Para t>0 isso dá |vec r'(t)|=t, logo
vec T(t) =vec r'(t)t =(sen t),vecimath+(cos t),vecjmath+0,vec k

Passo 3

Derivando vec T(t) obtemos
vec T'(t) =(cos t),vecimath+(-sen t),vecjmath+0,vec k
e
|vec T'(t)| =raizcos^2t+(-sen t)^2 =raizcos^2t+sen^2t =1
Portanto
vec N(t) =vec T'(t) =(cos t),vecimath+(-sen t),vecjmath+0,vec k

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial
vec B(t) =vec T(t)timesvec N(t) = vecimath & vecjmath & vec k sen t & cos t & 0 cos t & -sen t & 0
Expandindo:
o componente vecimath vale 0, o de vecjmath vale 0 e o de vec k vale
sen tcdot(-sen t)-cos tcdotcos t =-l(sen^2t+cos^2tr) =-1
Logo
vec B(t) =0,vecimath+0,vecjmath+(-1),vec k =-,vec k

Resposta

vec B(t)=-vec k

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