Determine qual o tipo de curva descrito por cada equação:
16 y^{2}-4 x^{2}-96 y+8 x+84=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva dada pela equação
16y^{2}-4x^{2}-96y+8x+84=0
Isso faz parte do conteúdo de cônicas. Para identificar o tipo, vamos agrupar termos em x e y e completar o quadrado em cada variável.

Passo 2

Separe os termos em y e em x, e, para simplificar os cálculos, divida tudo por 4:
16y^{2}-96y-4x^{2}+8x+84=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y^{2}-24y - x^{2} +2x +21=0.

Passo 3

Complete o quadrado em y e em x:
Para y:
4\bigl(y^{2}-6y\bigr) =4\bigl[(y-3)^{2}-9\bigr] =4(y-3)^{2}-36.
Para x:
-\,\bigl(x^{2}-2x\bigr) =-\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr] =-(x-1)^{2}+1.
Substituindo na equação:
4(y-3)^{2}-36 \;-\;(x-1)^{2}+1 \;+\;21 \;=\;0.

Passo 4

Reúna constantes e isole os quadrados:
4(y-3)^{2} \;-\;(x-1)^{2} \;-\;36+1+21 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 4(y-3)^{2} \;-\;(x-1)^{2} \;=\;14.
Divida ambos os lados por 14:
\frac{(y-3)^{2}}{14/4} \;-\;\frac{(x-1)^{2}}{14}\;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y-3)^{2}}{7/2}\;-\;\frac{(x-1)^{2}}{14}\;=\;1.

Passo 5

Na forma
\frac{(y-3)^{2}}{7/2}-\frac{(x-1)^{2}}{14}=1
vemos que há um sinal positivo num quadrado de y e sinal negativo num quadrado de x. Isso caracteriza uma hipérbole com centro em (1,3) e eixo transverso vertical.

Resposta

A curva é uma hipérbole.

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