Exercício B. Este exercício tem como objetivo confirmar que a matriz de rotação A_{\theta} efetua a rotação de um ponto em \theta radianos no sentido horário. Considere um ponto p=(x, y) visto como uma matriz coluna, um ângulo \theta \in[0,2 \pi) e a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} \cos (\theta) & \sin (\theta) \\\\ -\sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right], \quad \text { então } \quad A p=\binom{\cos (\theta) x+\sin (\theta) y}{\cos (\theta) y-\sin (\theta) x}ã
(a) Mostre que |A p|=|p| e que p \cdot A p=\cos (\theta)|p|^{2}.
(b) Conclua que o ângulo entre os vetores \overrightarrow{O p} e \overrightarrow{O A} p é \theta.
(c) Seja \theta \in[0, \pi / 2). Mostre que A(0,1) tem coordenadas x e y positivas, enquanto que A(1,0) tem coordenada x positiva e coordenada y negativa.
(d) Conclua que a matriz A realiza a rotação de p em \theta radianos no sentido horário.
Dica: (a) Utilize a identidade \cos (\theta)^{2}+\sin (\theta)^{2}=1. (b) Lembre que o produto interno u \cdot v coincide com \cos (\varphi)|u||v|, onde \varphi é o ângulo entre os vetores u e v. (c) Se \theta \in[0, \pi / 2] então \cos (\theta) \geq 0 e \sin (\theta) \geq 0. (d) Escreva \left(x_{0}, y_{0}\right)=x_{0}(1,0)+y_{0}(0,1).

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\[6pt] -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}
e o vetor p=(x,y). Precisamos mostrar em (a) que A preserva norma e que o produto interno satisfaz
\langle p,A p\rangle = \cos(\theta)\,\|p\|^2,
em (b) que o ângulo entre p e A p é \theta, em (c) que para \theta\in[0,\pi/2) as imagens de (0,1) e (1,0) caem nos quadrantes indicados, e em (d) concluir que A é a rotação de p em \theta radianos no sentido horário. Vamos usar expansão de quadrados, identidade \cos^2+\sin^2=1 e a caracterização geométrica do produto interno.]

Passo 2

Calculemos \|A p\|^2 e \langle p,A p\rangle.
A p = \begin{pmatrix} \cos(\theta)x + \sin(\theta)y \\[4pt] -\sin(\theta)x + \cos(\theta)y \end{pmatrix}.
Então
\|A p\|^2 = (\cos x + \sin y)^2 +(-\sin x +\cos y)^2
onde omitimos \theta nos argumentos para brevidade. Expandindo,
\|A p\|^2 = \cos^2 x^2 +2\cos\sin\,xy +\sin^2 y^2 +\sin^2 x^2 -2\sin\cos\,xy +\cos^2 y^2
= (\cos^2+\sin^2)(x^2+y^2) = x^2+y^2 = \|p\|^2.
Para o produto interno,
\langle p,A p\rangle = x(\cos x + \sin y) + y(-\sin x + \cos y) = \cos\,(x^2+y^2) = \cos(\theta)\,\|p\|^2.]

Passo 3

Pela fórmula do produto interno em termos de ângulo \varphi entre p e A p,
\langle p,A p\rangle = \|p\|\;\|A p\|\;\cos(\varphi).
Como \|A p\|=\|p\| e já vimos \langle p,A p\rangle=\cos(\theta)\|p\|^2, segue
\cos(\varphi) = \frac{\langle p,A p\rangle}{\|p\|^2} = \cos(\theta) \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\theta.

Passo 4

Para \theta\in[0,\pi/2) temos \cos(\theta)\ge0 e \sin(\theta)\ge0.
  • A(0,1) = (\sin(\theta),\cos(\theta)) tem ambas as coordenadas não negativas, logo x>0 e y>0.
  • A(1,0) = (\cos(\theta),-\sin(\theta)) tem x>0 e y<0.

Passo 5

Como A é linear, para p=(x_0,y_0)=x_0(1,0)+y_0(0,1) vale
A p = x_0\,A(1,0) + y_0\,A(0,1),
ou seja, A p é exatamente a combinação linear das imagens dos eixos, que já vimos serem os vetores obtidos girados de \theta no sentido horário. Assim, A implementa a rotação de p em \theta radianos no sentido horário.

Resposta

(a) \|A p\|=\|p\| e \langle p,A p\rangle=\cos(\theta)\|p\|^2.
(b) O ângulo entre p e A p é \theta.
(c) Para \theta\in[0,\pi/2), A(0,1) fica no primeiro quadrante e A(1,0) no quarto quadrante.
(d) Logo, A rotaciona qualquer vetor p em \theta radianos no sentido horário.

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