Exercício A. Este exercício tem como objetivo reforçar o método de completamento de quadrados. Considere a expressão a x^{2}+b x+c=0, com a, b, c \in \mathbb{R} e a \neq 0.
(a) Mostre que existem A, B, C \in \mathbb{R} tais que a x^{2}+b x+c=A(x-B)^{2}+C.
(b) Obtenha as soluções da equação A(x-B)^{2}+C=0 em termos de A, B e C.
(c) Use (a) e (b) para resolver a x^{2}+b x+c=0 em termos de a, b e c.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de completamento de quadrados na equação a x^{2}+b x+c=0. Em (a) precisamos escrever
a x^{2}+b x+c = A(x-B)^{2}+C
determinando A,B,C\in\mathbb{R}. Em (b) vamos resolver A(x-B)^{2}+C=0 em função de A,B,C. Em (c) usamos esses resultados para obter as raízes em termos de a,b,c.
Passo 2
Queremos achar A,B,C tais que
a x^{2}+b x+c \;=\; A(x-B)^{2}+C.
Expandindo o lado direito:
A(x-B)^{2}+C = A\bigl(x^{2}-2Bx+B^{2}\bigr)+C = A x^{2}-2AB\,x + (A B^{2}+C).
Comparando coeficientes com a x^{2}+b x+c, obtemos o sistema
\begin{cases} A = a,\\\\ -2AB = b,\\\ A B^{2} + C = c. \end{cases}
Da segunda equação surge
B = -\frac{b}{2A} = -\frac{b}{2a},
e da terceira
C = c - A B^{2} = c - a\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} = c - \frac{b^{2}}{4a}.
Passo 3
Agora resolvemos
A(x-B)^{2}+C=0.
Isolando o quadrado:
(x-B)^{2} = -\frac{C}{A},
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x - B = \pm\sqrt{-\frac{C}{A}} \quad\Longrightarrow\quad x = B \pm \sqrt{-\frac{C}{A}}.
Passo 4
Finalmente substituímos A=a, B=-\tfrac{b}{2a} e C=c-\tfrac{b^{2}}{4a} em
x = B \pm \sqrt{-\frac{C}{A}} = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{-\frac{\,c - \tfrac{b^{2}}{4a}\,}{a}}.