(a) Determine o tipo de curva representado pela equação
x^2k+y^2k-16=1
em cada um dos seguintes casos: (i) k>16, (ii) 0<k<16 e (ii) k<0. Verifique que todas as curvas nas partes (i) e (ii) têm os mesmos focos, não importando o valor de k.
(b) Supondo k>16, esboce o vetor posição r=x i+y j=r(t) em função (trajetória) de t in[0,2 pi] onde x=x(t)=raizk cos t e $y=y(t)=\sqrt{k-16} \operatorname{sen} t.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre seções cônicas e parametrização. A gente tem a equação
x^2k + y^2k-16 = 1
e precisa, para três casos de k:
  1. Classificar se é elipse, hipérbole ou nada.
  2. Verificar os focos nos casos (i) e (ii).
    Depois, em (b), com k>16, desenhar a trajetória do vetor posição
vec r(t) = x(t),hat i + y(t),hat j, x(t)=raizkcos t,; y(t)=raizk-16sin t,;tin[0,2pi]
Conteúdo usado:
  • Se ambas as frações tiverem denominador positivo → elipse ( x^2a^2+y^2b^2=1, c^2=a^2-b^2).
  • Se uma for negativa → hipérbole ( x^2a^2-y^2b^2=1, c^2=a^2+b^2).
  • Se ambas negativas → curva imaginária (nenhum ponto real).
  • Para parametrizar elipse: x=acos t,;y=bsin t.

Passo 2

Caso (i) k>16.
  • Aqui k>0 e k-16>0, então ambas as frações são “positivas”.
  • É uma elipse na forma
x^2a^2 + y^2b^2 = 1, a^2=k,;b^2=k-16
  • Teoria: em elipse com a^2>b^2 o eixo maior está em x.

Passo 3

Caso (ii) 0<k<16.
  • Agora k>0 mas k-16<0. Uma fração positiva e outra negativa → hipérbole.
  • Reescrevendo:
x^2k - y^216-k = 1, a^2=k,;b^2=16-k
  • Teoria: hipérbole horizontal abre para a direita e esquerda.

Passo 4

Caso (iii) k<0.
  • Tanto k quanto k-16 são negativos → ambas frações negativas.
  • Multiplicando por -1 daria x^2|k|+y^2|k|+16=-1.
  • Mas soma de dois termos >=0 não dá -1.
  • Conclusão: não existem pontos reais (curva imaginária).

Passo 5

Focos nos casos (i) e (ii):
  • Elipse (i): c^2=a^2-b^2=k-(k-16)=16 c=4. Focos em (pm4,0).
  • Hipérbole (ii): c^2=a^2+b^2=k+(16-k)=16 c=4. Focos em (pm4,0).
    Ou seja, independente de k, os focos são sempre (pm4,0).

Passo 6

Parte (b), para k>16:
  • A parametrização
x(t)=raizkcos t, y(t)=raizk-16sin t
é a receita clássica de elipse com semi-eixos
;a=raizk,;b=raizk-16
  • Quando t vai de 0 a 2pi, vec r(t)=x(t)hat i+y(t)hat j faz uma volta completa, começando em (raizk,0) e indo no sentido anti-horário.
  • Esboço: uma oval centrada na origem, mais larga em x (comprimento 2raizk) e menor em y (altura 2raizk-16).

Resposta

(a)
(i) Para k>16: elipse de semi-eixos raizk e raizk-16, eixo maior em x.
(ii) Para 0<k<16: hipérbole horizontal com semi-eixos raizk e raiz16-k.
(iii) Para k<0: não há pontos reais (curva imaginária).
Em (i) e (ii) os focos são (pm4,0).
(b) Com k>16,
vec r(t)=(raizkcos t),hat i+(raizk-16sin t),hat j,;tin[0,2pi]
é a parametrização de uma elipse centrada na origem, semi-eixos raizk (eixo x) e raizk-16 (eixo y), percorrida no sentido anti-horário.

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