(a) Determine o tipo de curva representado pela equação
em cada um dos seguintes casos: (i)
, (ii)
(ii)
. Verifique que todas as curvas nas partes (i) e (ii) têm os mesmos focos, não importando o valor de
.
(b) Supondo
, esboce o vetor posição
em função (trajetória) de
onde
e $y=y(t)=\sqrt{k-16} \operatorname{sen} t.
(b) Supondo
Passo 1
Beleza, a questão é sobre seções cônicas e parametrização. A gente tem a equação
e precisa, para três casos de
:
- Classificar se é elipse, hipérbole ou nada.
- Verificar os focos nos casos (i) e (ii).
Depois, em (b), com, desenhar a trajetória do vetor posição
Conteúdo usado:
- Se ambas as frações tiverem denominador positivo → elipse (
, ). - Se uma for negativa → hipérbole (
, ). - Se ambas negativas → curva imaginária (nenhum ponto real).
- Para parametrizar elipse:
.
Passo 2
Caso (i)
.
- Aqui
e , então ambas as frações são “positivas”. - É uma elipse na forma
- Teoria: em elipse com
o eixo maior está em .
Passo 3
Caso (ii)
.
- Agora
mas . Uma fração positiva e outra negativa → hipérbole. - Reescrevendo:
- Teoria: hipérbole horizontal abre para a direita e esquerda.
Passo 4
Caso (iii)
.
- Tanto
quanto são negativos → ambas frações negativas. - Multiplicando por
daria . - Mas soma de dois termos
não dá . - Conclusão: não existem pontos reais (curva imaginária).
Passo 5
Focos nos casos (i) e (ii):
- Elipse (i):
→ . Focos em . - Hipérbole (ii):
→ . Focos em .
Ou seja, independente de, os focos são sempre .
Passo 6
Parte (b), para
:
- A parametrização
é a receita clássica de elipse com semi-eixos
- Quando
vai de a , faz uma volta completa, começando em e indo no sentido anti-horário. - Esboço: uma oval centrada na origem, mais larga em
(comprimento ) e menor em (altura ).
Resposta
(a)
(i) Para : elipse de semi-eixos
e
, eixo maior em
.
(ii) Para : hipérbole horizontal com semi-eixos
e
.
(iii) Para : não há pontos reais (curva imaginária).
Em (i) e (ii) os focos são .
(i) Para
(ii) Para
(iii) Para
Em (i) e (ii) os focos são
(b) Com
,
é a parametrização de uma elipse centrada na origem, semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
), percorrida no sentido anti-horário.