Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=t^4, y=t^3+t ; t=-1

Passo 1

Nesse exercício temos a curva dada pelas equações paramétricas x = t^4 e y = t^3 + t, e queremos a reta tangente no ponto correspondente a t = -1. O conteúdo envolve derivada paramétrica, usando a fórmula dydx = dydtdxdt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas em relação a t: dxdt = 4t^3 e dydt = 3t^2 + 1. Avaliando em t = -1, obtemos dxdt = -4 e dydt = 4.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é m = dydtdxdt = 4-4 = -1.

Passo 4

O ponto de tangência tem coordenadas x(-1) = (-1)^4 = 1 e y(-1) = (-1)^3 + (-1) = -2, logo o ponto é (1, -2).

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0), substituindo (x0,y0) = (1,-2) e m = -1 temos y + 2 = -1(x - 1), que simplifica para y = -x - 1.

Resposta

y = -x - 1

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