Exercício 2. Expresse as curvas por uma equação em x e y.
x(t)=cosec t, y(t)=cotg t.

Passo 1

Temos a parametrização
x(t)=csc t e y(t)=cot t,
e queremos eliminar o parâmetro t para obter uma equação somente em x e y.
Conteúdo: uso das definições trigonométricas e da identidade pitagórica.

Passo 2

Pelo definição de cosseno, seno e cotangente:
x=csc t=1sin t Longrightarrow sin t=1x,
y=cot t=cos tsin t Longrightarrow cos t=y,sin t=yx

Passo 3

Usamos a identidade pitagórica
sin^2 t + cos^2 t =1
Substituindo sin t=tfrac1x e cos t=tfracyx,
l(1xr)^2 + l(yxr)^2 =1 Longrightarrow 1+y^2x^2=1

Passo 4

Multiplicando por x^2, obtemos
1 + y^2 = x^2 Longrightarrow x^2 - y^2 =1

Resposta

A equação cartesiana da curva é
x^2 - y^2 = 1

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