Determine o tipo de triângulo gerado pelos pontos A B C (Classificação pelo comprimento de lado e ângulos internos) em cada um dos seguintes casos:
A=(0,1,-1) B=(2,-2, raiz3) C=(-1,2,0)

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3:
A=(0,1,-1), B=(2,-2,raiz3), C=(-1,2,0),
e pede a classificação do triângulo ABC segundo os comprimentos dos lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e segundo os ângulos internos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo). Para isso, vamos calcular os vetores que definem os lados, seus quadrados de comprimento e comparar.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB=B-A=(2,-3,raiz3+1),
AC=C-A=(-1,1,1),
BC=C-B=(-3,4,-raiz3)
Em seguida, os quadrados dos comprimentos:
|AB|^2 =2^2+(-3)^2+(raiz3+1)^2 =4+9+(,3+2raiz3+1,) =17+2raiz3,
|AC|^2 =(-1)^2+1^2+1^2 =3,
|BC|^2 =(-3)^2+4^2+(-raiz3)^2 =9+16+3 =28

Passo 3

Como
|AC|^2=3, |AB|^2=17+2raiz3approx20,46, |BC|^2=28,
são todos diferentes, concluímos que o triângulo é escaleno.

Passo 4

Para saber se é acutângulo, retângulo ou obtusângulo, comparamos o maior quadrado de lado com a soma dos outros dois. O maior é
|BC|^2 = 28
e a soma dos outros dois é
|AB|^2 + |AC|^2 =(17+2raiz3) + 3 =20+2raiz3approx23,46
Como
28 > 20+2raiz3,
o maior lado ao quadrado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois, logo o triângulo é obtusângulo (o ângulo oposto ao lado BC, isto é, ang<= A, é maior que 90^circ).

Resposta

O triângulo ABC é escaleno e obtusângulo.

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