Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:
(a)
(f)
(b)
(g)
(c)
(h)
(d)
(i)
(e)
(j) $f(x)=\sqrt{\frac{3 x+2}{2 x+1}}
(a)
(f)
(b)
(g)
(c)
(h)
(d)
(i)
(e)
(j) $f(x)=\sqrt{\frac{3 x+2}{2 x+1}}
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de várias funções do tipo racional ou com raiz. Lembrando que
- há assíntota vertical em
se ou ; - há assíntota horizontal em
se ou .
Para cada função identificamos as raízes reais do denominador e o comportamento em.
Passo 2
(a) Para
o denominador zera em
. Próximo a zero o termo dominante é
, logo assíntota vertical
. Para
portanto assíntota horizontal
.
Passo 3
(b) Para
o denominador zera em
(mult.\
) e
. Em ambos os casos
, dando assíntotas verticais
e
. Como
,
logo assíntota horizontal
.
Passo 4
(c) Para
o denominador nunca zera (
), logo não há assíntota vertical. E como
,
, não há assíntota horizontal.
Passo 5
(d) Para
o denominador zera em
, ou seja
, dando assíntota vertical
. Como
,
portanto assíntota horizontal
.
Passo 6
(e) Para
o denominador zera em
e
, dando assíntotas verticais
e
. Como
,
logo assíntota horizontal
.
Passo 7
(f) Para
o denominador zera em
(mult.\
) e
(mult.\
), gerando assíntotas verticais
e
. Como
, não há assíntota horizontal.
Passo 8
(g) Para
as raízes do denominador são
e
, dando assíntotas verticais
e
. Como
,
logo assíntota horizontal
.
Passo 9
(h) Para
as raízes do denominador satisfazem
com
:
- Se
, há duas raízes reais , duas assíntotas verticais. - Se
, há raiz dupla , uma assíntota vertical. - Se
, não há assíntotas verticais.
Em todos os casos, então
e há assíntota horizontal
.
Passo 10
(i) Note que
, logo
O denominador zera em
, dando assíntota vertical
. Como
, assíntota horizontal
.
Passo 11
(j) Para
o domínio exige
, logo potencial assíntota vertical em
. De fato, conforme
a raiz tende a
, então
é assíntota vertical. Para
dando assíntota horizontal
.
Resposta
(a) VA:
; HA:
.
(b) VA: ; HA:
.
(c) VA: nenhuma; HA: nenhuma.
(d) VA: ; HA:
.
(e) VA: ; HA:
.
(f) VA: ; HA: nenhuma.
(g) VA: ; HA:
.
(h) VA: raízes de (duas se
, uma se
, nenhuma se
); HA:
.
(i) VA: ; HA:
.
(j) VA: ; HA:
.
(b) VA:
(c) VA: nenhuma; HA: nenhuma.
(d) VA:
(e) VA:
(f) VA:
(g) VA:
(h) VA: raízes de
(i) VA:
(j) VA: