Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:
(a) f(x)=x^2+7 x+3x^2
(f) f(x)=(2 x+3)^2(x-2)^5x^3(x-5)^2
(b) f(x)=(x+4)(x-3)^2x^4(x-1)
(g) f(x)=11-x^2
(c) f(x)=x^3x^2+1
(h) f(x)=1x^2+2 x+c, c in R
(d) f(x)=2 x^3x^3-8
(i) f(x)=2 x^2+x-1x^2+2-2
(e) f(x)=x^2(x+1)^3(x-2)^2(x-4)^4
(j) $f(x)=\sqrt{\frac{3 x+2}{2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de várias funções do tipo racional ou com raiz. Lembrando que
  • há assíntota vertical em x=a se limxto a^-f(x)=pminfty ou limxto a^+f(x)=pminfty;
  • há assíntota horizontal em y=L se limxto+inftyf(x)=L ou limxto-inftyf(x)=L.
    Para cada função identificamos as raízes reais do denominador e o comportamento em xtopminfty.

Passo 2

(a) Para f(x)=x^2+7x+3x^2 o denominador zera em x=0. Próximo a zero o termo dominante é 7xx^2=7xtopminfty, logo assíntota vertical x=0. Para xtopminfty
f(x)=1+7x+3x^2longrightarrow1,
portanto assíntota horizontal y=1.

Passo 3

(b) Para f(x)=(x+4)(x-3)^2x^4(x-1) o denominador zera em x=0 (mult.\ 4) e x=1. Em ambos os casos f(x)topminfty, dando assíntotas verticais x=0 e x=1. Como deg(num)=3<deg(den)=5,
limxtopminftyf(x)=0,
logo assíntota horizontal y=0.

Passo 4

(c) Para f(x)=x^3x^2+1 o denominador nunca zera ( x^2+1>0 ), logo não há assíntota vertical. E como deg(num)=3>deg(den)=2, limxtopminftyf(x)=pminfty, não há assíntota horizontal.

Passo 5

(d) Para f(x)=2x^3x^3-8 o denominador zera em x^3=8, ou seja x=2, dando assíntota vertical x=2. Como deg(num)=deg(den)=3,
limxtopminftyf(x)=21=2,
portanto assíntota horizontal y=2.

Passo 6

(e) Para f(x)=x^2(x+1)^3(x-2)^2(x-4)^4 o denominador zera em x=2 e x=4, dando assíntotas verticais x=2 e x=4. Como deg(num)=5<deg(den)=6,
limxtopminftyf(x)=0,
logo assíntota horizontal y=0.

Passo 7

(f) Para f(x)=(2x+3)^2(x-2)^5x^3(x-5)^2 o denominador zera em x=0 (mult.\ 3) e x=5 (mult.\ 2), gerando assíntotas verticais x=0 e x=5. Como deg(num)=7>deg(den)=5, não há assíntota horizontal.

Passo 8

(g) Para f(x)=11-x^2=1(1-x)(1+x) as raízes do denominador são x=1 e x=-1, dando assíntotas verticais x=1 e x=-1. Como deg(num)=0<deg(den)=2,
limxtopminftyf(x)=0,
logo assíntota horizontal y=0.

Passo 9

(h) Para f(x)=1x^2+2x+c as raízes do denominador satisfazem x^2+2x+c=0 com De<a=4-4c:
  • Se De<a>0, há duas raízes reais x=-1pmraiz1-c, duas assíntotas verticais.
  • Se De<a=0, há raiz dupla x=-1, uma assíntota vertical.
  • Se De<a<0, não há assíntotas verticais.
    Em todos os casos deg(num)=0<deg(den)=2, então
limxtopminftyf(x)=0,
e há assíntota horizontal y=0.

Passo 10

(i) Note que x^2+2-2=x^2, logo
f(x)=2x^2+x-1x^2=2+1x-1x^2
O denominador zera em x=0, dando assíntota vertical x=0. Como limxtopminftyf(x)=2, assíntota horizontal y=2.

Passo 11

(j) Para f(x)=raiz3x+22x+1 o domínio exige 2x+1neq0, logo potencial assíntota vertical em x=-12. De fato, conforme xto-12^pm a raiz tende a +infty, então x=-tfrac12 é assíntota vertical. Para xtopminfty
3x+22x+1to32 Longrightarrow f(x)toraiztfrac32,
dando assíntota horizontal y=raiztfrac32.

Resposta

(a) VA: x=0; HA: y=1.
(b) VA: x=0,1; HA: y=0.
(c) VA: nenhuma; HA: nenhuma.
(d) VA: x=2; HA: y=2.
(e) VA: x=2,4; HA: y=0.
(f) VA: x=0,5; HA: nenhuma.
(g) VA: x=-1,1; HA: y=0.
(h) VA: raízes de x^2+2x+c=0 (duas se De<a>0, uma se De<a=0, nenhuma se De<a<0); HA: y=0.
(i) VA: x=0; HA: y=2.
(j) VA: x=-tfrac12; HA: y=raiztfrac32.

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