Seja
, onde
são números reais quaisquer.
(a) Mostre que
e
.
(b) Mostre que todo polinomio de grau 3 possui, ao menos, uma raíz.
(a) Mostre que
(b) Mostre que todo polinomio de grau 3 possui, ao menos, uma raíz.
Passo 1
O enunciado define o polinômio
com
, e pede em (a) os limites em
e
e em (b) que se mostre que
tem pelo menos uma raiz real. Para isso vamos usar análise de limites, o fato de que polinômios são contínuos e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Para calcular os limites de
quando
, fatoramos
:
Como
,
e
,
segue que
segue que
Passo 3
Da forma fatorada, para
temos
e o parêntese tende a
, logo
Para
temos
e o parêntese também tende a
, logo
Passo 4
Polinômios são funções construídas por soma e produto de funções polinomiais elementares, portanto são contínuos em todo
. Assim,
é contínua no intervalo
para quaisquer
.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, existe
tal que
. Da parte (a) sabemos que para
temos
e para
temos
. Portanto existe ao menos uma raiz real de
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Como é contínua e muda de sinal em extremos opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
com
, isto é,
tem pelo menos uma raiz real.
(b) Como