Seja f(x)=x^3+b x^2+c x+d, onde b, c, d são números reais quaisquer.
(a) Mostre que lim x infty f(x)=infty e lim x -infty=-infty.
(b) Mostre que todo polinomio de grau 3 possui, ao menos, uma raíz.

Passo 1

O enunciado define o polinômio
f(x)=x^3+b,x^2+c,x+d,
com b,c,dinR, e pede em (a) os limites em +infty e -infty e em (b) que se mostre que f tem pelo menos uma raiz real. Para isso vamos usar análise de limites, o fato de que polinômios são contínuos e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Para calcular os limites de f(x) quando xtopminfty, fatoramos x^3:
f(x) = x^3l(1+bx+cx^2+dx^3r)
Como
limxtopminftybx=0,
limxtopminftycx^2=0 e
limxtopminftydx^3=0,
segue que
limxtopminftyl(1+bx+cx^2+dx^3r)=1

Passo 3

Da forma fatorada, para xto+infty temos x^3to+infty e o parêntese tende a 1, logo
limxtoinftyf(x)=infty
Para xto-infty temos x^3to-infty e o parêntese também tende a 1, logo
limxto-inftyf(x)=-infty

Passo 4

Polinômios são funções construídas por soma e produto de funções polinomiais elementares, portanto são contínuos em todo R. Assim, f é contínua no intervalo [A,B] para quaisquer A<B.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua em [A,B] e f(A) e f(B) têm sinais opostos, existe x0in(A,B) tal que f(x0)=0. Da parte (a) sabemos que para All0 temos f(A)<0 e para Bgg0 temos f(B)>0. Portanto existe ao menos uma raiz real de f.

Resposta

(a) limxtoinftyf(x)=infty e limxto-inftyf(x)=-infty.
(b) Como f é contínua e muda de sinal em extremos opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0inR com f(x0)=0, isto é, f tem pelo menos uma raiz real.

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