Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual até o topo da montanha, chegando lá as 19 horas. Na manhã seguinte ele parte do topo às 7 horas da manhã e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério às 19 horas. Pense na posição do monge como uma função f(t).
(a) Como você definiria f(t) numericamente?
(b) Mostre que existe um ponto no caminho que o monge cruza exatamente na mesma hora do dia em ambas caminhadas. (Dica: use TVI)

Passo 1

O enunciado descreve duas caminhadas do monge pelo mesmo caminho: no dia 1 de 7 h a 19 h ele vai do monastério ao topo, e no dia 2 de 7 h a 19 h faz o percurso inverso. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a funções contínuas que modelam a posição do monge ao longo do tempo.

Passo 2

Para modelar numericamente a posição, introduzimos um referencial unidimensional ao longo do caminho: seja D o comprimento total do trilho (em quilômetros, por exemplo). Colocamos o monastério na posição 0 e o topo na posição D. Assim podemos medir a posição do monge por um número real entre 0 e D.
(a) No dia 1 definimos a função
f1colon [7,19]to [0,D],
onde f1(t) é a distância (em km) do monge ao monastério no instante t (em horas). Como ele parte de 0 e chega a D, temos
f1(7)=0, f1(19)=D,
e assumimos que f1 é contínua em [7,19].
No dia 2 definimos analogamente
f2colon [7,19]to [0,D],
onde f2(t) é a distância do monge ao monastério no instante t, agora decrescendo de D a 0. Logo
f2(7)=D, f2(19)=0,
e f2 também é contínua.

Passo 3

(b) Para mostrar que existe um ponto em que ele passa na mesma hora nos dois dias, consideramos a função
g(t)=f1(t)-f2(t),
definida e contínua em [7,19] como diferença de contínuas.

Passo 4

Calculamos os valores nos extremos:
g(7)=f1(7)-f2(7)=0 - D = -D < 0,
g(19)=f1(19)-f2(19)=D - 0 = +D > 0
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua e muda de sinal em [7,19], existe t^*in(7,19) tal que
g(t^*)=0
Isso implica f1(t^*)=f2(t^*), ou seja, há uma posição única do caminho em que o monge se encontra exatamente na mesma hora em ambos os dias.

Resposta

(a) Definimos
f1(t)=distância do mon>= ao monastério no dia 1 às t horas, âéà
com f1(7)=0, f1(19)=D, contínua em [7,19], e
f2(t)=distância ao monastério no dia 2 às t horas, âéà
com f2(7)=D, f2(19)=0, também contínua.
(b) Considerando
g(t)=f1(t)-f2(t),
vemos que g(7)<0 e g(19)>0. Pelo TVI, existe t^*in(7,19) tal que g(t^*)=0, logo f1(t^*)=f2(t^*): o monge passa no mesmo ponto às mesmas horas nos dois dias.

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