Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual até o topo da montanha, chegando lá as 19 horas. Na manhã seguinte ele parte do topo às 7 horas da manhã e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério às 19 horas. Pense na posição do monge como uma função
.
(a) Como você definiria
numericamente?
(b) Mostre que existe um ponto no caminho que o monge cruza exatamente na mesma hora do dia em ambas caminhadas. (Dica: use TVI)
(a) Como você definiria
(b) Mostre que existe um ponto no caminho que o monge cruza exatamente na mesma hora do dia em ambas caminhadas. (Dica: use TVI)
Passo 1
O enunciado descreve duas caminhadas do monge pelo mesmo caminho: no dia 1 de 7 h a 19 h ele vai do monastério ao topo, e no dia 2 de 7 h a 19 h faz o percurso inverso. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a funções contínuas que modelam a posição do monge ao longo do tempo.
Passo 2
Para modelar numericamente a posição, introduzimos um referencial unidimensional ao longo do caminho: seja
o comprimento total do trilho (em quilômetros, por exemplo). Colocamos o monastério na posição 0 e o topo na posição
. Assim podemos medir a posição do monge por um número real entre 0 e
.
(a) No dia 1 definimos a função
(a) No dia 1 definimos a função
onde
é a distância (em km) do monge ao monastério no instante
(em horas). Como ele parte de 0 e chega a
, temos
e assumimos que
é contínua em
.
No dia 2 definimos analogamente
onde
é a distância do monge ao monastério no instante
, agora decrescendo de
a 0. Logo
e
também é contínua.
Passo 3
(b) Para mostrar que existe um ponto em que ele passa na mesma hora nos dois dias, consideramos a função
definida e contínua em
como diferença de contínuas.
Passo 4
Calculamos os valores nos extremos:
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal em
, existe
tal que
Isso implica
, ou seja, há uma posição única do caminho em que o monge se encontra exatamente na mesma hora em ambos os dias.
Resposta
(a) Definimos
com
,
, contínua em
, e
com
,
, também contínua.
(b) Considerando
(b) Considerando
vemos que
e
. Pelo TVI, existe
tal que
, logo
: o monge passa no mesmo ponto às mesmas horas nos dois dias.