(a) Dê um exemplo de uma função tal que existe, mas não existe. Mostre que seu exemplo satisfaz a condição pedida.
(b) Verifique se é contínua para todo x in I R. Se não for, mostre, usando limite, quais são os pontos de descontinuidade.
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na (a) queremos um exemplo de função cujo módulo tem limite finito em
e devemos verificar onde . Isso envolve analisar continuidade em cada parte do domínio, limites laterais nos pontos de troca de definição e verificar zeros no denominador.]
Passo 2
Parte (a). Escolha-se
f(x)=xlvert xrvert(xneq0)
Então para xneq0 temos lvert f(x)rvert=1, logo
limxto0lvert f(x)rvert=1
Por outro lado
limxto0^-f(x)=-1, limxto0^+f(x)=+1,
portanto o limite limxto0f(x) não existe. Isso mostra o exemplo pedido.
Passo 3
Parte (b). Primeiro observamos o domínio e a forma de f. 1. Para xin;]-1,0], f(x)=0, função constante, logo contínua em cada ponto interior desse intervalo. 2. Para xnotin;]-1,0], ou seja xin(-infty,-1)cup(0,infty), vale
f(x)=x-12lfloor xrfloor
Em cada intervalo aberto (k,k+1) com kin Z, lfloor xrfloor=k é constante. Se kneq0, o denominador 2kneq0 e f(x) é restrição de função racional x-12k, contínua em (k,k+1).
Passo 4
Agora ficam os pontos críticos: troca de definição em x=-1 e x=0. 1. Em x=-1:
- Para xto-1^-, lfloor xrfloor=-2, então
limxto-1^-f(x) =limxto-1^-x-12(-2) =-1-1-4=12
- Para xto-1^+ (vem de (-1,0]), f(x)=0, logo limxto-1^+f(x)=0.
Como 1/2neq0, há descontinuidade em x=-1. 2. Em x=0:
- Para xto0^-, f(x)=0, então limxto0^-f(x)=0.
- Para xto0^+, lfloor xrfloor=0, o denominador 2lfloor xrfloor anula– se e f(x) não está definido em (0,1). Logo não há limite finito por 0^+.
Concluímos descontinuidade em x=0.
Passo 5
Sobram dois tipos de pontos fora de [-1,0]: 1. Se lfloor xrfloor=0, isto é xin[0,1), f(x) não está definida (divisão por zero), logo não é contínua em toda essa faixa. 2. Em inteiros kneq0: para xto k^-, lfloor xrfloor=k-1 e
limxto k^-f(x)=k-1-12(k-1)=k-22(k-1),
para xto k^+, lfloor xrfloor=k e
limxto k^+f(x)=k-12k
Geralmente k-22(k-1)neqk-12k, então há salto em cada inteiro kneq0.
Resposta
(a) Por exemplo f(x)=x/|x| satisfaz limxto0|f(x)|=1 mas não tem limxto0f(x).
(b) A função é contínua apenas em cada intervalo aberto (k,k+1) com kin Z, kneq0, e em (-1,0). Há descontinuidade em x=-1, em x=0, em toda a faixa xin[0,1) (denominador zero) e em todo inteiro kneq0 (salto de valor).