Seja um grupo finito. Prove que, se a ordem de for um número primo, então é cíclico. Além disso, sabendo que , descreva todos os subgrupos de .
Passo 1
O enunciado diz que é um grupo finito e que é um número primo, digamos . Precisamos mostrar que qualquer grupo de ordem prima é gerado por um único elemento diferente da identidade (isto é, é cíclico). Para isso vamos usar o Teorema de Lagrange, que afirma que, em um grupo finito, a ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo. Além disso, sabendo que , queremos listar todos os subgrupos de , usando que a ordem de um subgrupo também divide .
Passo 2
Escolha um elemento com , onde é a identidade de . Seja a ordem de . Pelo Teorema de Lagrange temos
Como lvert Grvert=p é primo, as únicas divisões possíveis são ord(a)=1 ou ord(a)=p. Mas ord(a)=1 só ocorreria se a=e, o que contradiz aneq e. Logo
ord(a)=p
Passo 3
Se ord(a)=p, então o subgrupo cíclico lang<= arang<= gerado por a tem exatamente p elementos. Mas lang<= arang<=subseteq G e G também tem p elementos, então lang<= arang<==G. Isso mostra que G é cíclico.
Passo 4
Agora, supondo que lvert Grvert=17, queremos descrever todos os subgrupos de G. Novamente pelo Teorema de Lagrange, se H é subgrupo de G, então
lvert Hrvert;|;17
Como 17 é primo, os únicos divisores são 1 e 17. Portanto existem apenas dois subgrupos possíveis: aquele de ordem 1 e aquele de ordem 17.
Resposta
Os únicos subgrupos de G (com lvert Grvert=17) são
e e G
e, de modo geral, qualquer grupo de ordem prima é cíclico.