Determine todas as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia quando as variáveis estão multiplicando dentro da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, tratamos
como uma constante.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então aplicando a regra da cadeia:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
,
. Similarmente, tratamos
como constante.
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Então,
.
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
. Aplicando a derivada:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando em relação a
:
Então,
.
Passo 6
De forma semelhante, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando em relação a
:
Então,
.
Passo 7
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
. Aplicando a derivada:
Então,
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: