Determine todas as derivadas parciais de 2 a ordem:
f(x, y)=sen x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = sin(xy) . Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia quando as variáveis estão multiplicando dentro da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a x , que chamaremos de fx . Para isso, tratamos y como uma constante.
Sabemos que a derivada de sin(u) em relação a u é cos(u) . Aqui, u = xy , então aplicando a regra da cadeia:
fx = partialpartial x sin(xy) = cos(xy) cdot partialpartial x(xy) = cos(xy) cdot y
Então, fx = y cos(xy) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a y , fy . Similarmente, tratamos x como constante.
Aplicando a mesma regra da cadeia:
fy = partialpartial y sin(xy) = cos(xy) cdot partialpartial y(xy) = cos(xy) cdot x
Então, fy = x cos(xy) .

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial fxx , que é a derivada de fx em relação a x .
Sabemos que fx = y cos(xy) . Aplicando a derivada:
fxx = partialpartial x ( y cos(xy) ) = y cdot partialpartial x cos(xy) = y cdot ( -sin(xy) cdot y ) = -y^2 sin(xy)
Então, fxx = -y^2 sin(xy) .

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista fxy , que é a derivada de fx em relação a y .
Sabemos que fx = y cos(xy) . Derivando em relação a y :
fxy = partialpartial y ( y cos(xy) ) = cos(xy) + y cdot partialpartial y cos(xy) = cos(xy) - y cdot sin(xy) cdot x
Então, fxy = cos(xy) - xy sin(xy) .

Passo 6

De forma semelhante, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista fyx , que é a derivada de fy em relação a x .
Sabemos que fy = x cos(xy) . Derivando em relação a x :
fyx = partialpartial x ( x cos(xy) ) = cos(xy) + x cdot partialpartial x cos(xy) = cos(xy) - x cdot sin(xy) cdot y
Então, fyx = cos(xy) - xy sin(xy) .

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial fyy , que é a derivada de fy em relação a y .
Sabemos que fy = x cos(xy) . Aplicando a derivada:
fyy = partialpartial y ( x cos(xy) ) = x cdot partialpartial y cos(xy) = x cdot ( -sin(xy) cdot x ) = -x^2 sin(xy)
Então, fyy = -x^2 sin(xy) .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = sin(xy) são:
fxx = -y^2 sin(xy)
fxy = fyx = cos(xy) - xy sin(xy)
fyy = -x^2 sin(xy)

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