Seja f(x, y)=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t. Calcule fx(x, y) e fy(x, y).

Passo 1

Resumo do enunciado: a função está dada por f(x,y)=integralx^2^y^2e^-t^2,dt. O objetivo é calcular as derivadas parciais fx e fy. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Para calcular fx(x,y), consideramos y constante e aplicamos a fórmula de derivada de integral com limites dependentes: a contribuição vem apenas do limite inferior x^2. Assim temos
fx(x,y)= -,e^-[x^2]^2cdot ddx(x^2)= -e^-x^4cdot 2x=-2x,e^-x^4

Passo 3

Para calcular fy(x,y), fazemos x fixo e derivamos em relação ao limite superior y^2. Aplicando a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
fy(x,y)= e^-[y^2]^2cdot ddy(y^2)= e^-y^4cdot 2y=2y,e^-y^4

Resposta

fx(x,y)=-2x,e^-x^4, fy(x,y)=2y,e^-y^4.

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