Seja f: R R uma função duas vezes diferenciável. Prove que se F: R^2 R é definida por
F(x, y)=f(ax+by), então b Fx=a Fy;

Passo 1

O enunciado define f:RtoR duas vezes diferenciável e F:R^2toR por
F(x,y)=f(ax+by)
Pede para provar que b,Fx = a,Fy. O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para encontrar a derivada parcial de F em relação a x, note que a função interna é varphi(x,y)=ax+by. Pela regra da cadeia:
Fx(x,y)=f'l(varphi(x,y)r),partial varphipartial x =f'l(ax+byr)cdot a

Passo 3

De modo análogo, para a derivada parcial em relação a y, usamos a mesma função interna varphi(x,y)=ax+by. Assim:
Fy(x,y)=f'l(varphi(x,y)r),partial varphipartial y =f'l(ax+byr)cdot b

Passo 4

Multiplicando Fx por b e Fy por a, obtemos
b,Fx(x,y)=b,a,f'l(ax+byr) e a,Fy(x,y)=a,b,f'l(ax+byr)
Como a multiplicação é comutativa, segue que
b,Fx(x,y)=a,Fy(x,y)

Resposta

b,Fx = a,Fy

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