Seja
uma função duas vezes diferenciável. Prove que se
é definida por
, então
;
Passo 1
O enunciado define
duas vezes diferenciável e
por
Pede para provar que
. O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, note que a função interna é
. Pela regra da cadeia:
Passo 3
De modo análogo, para a derivada parcial em relação a
, usamos a mesma função interna
. Assim:
Passo 4
Multiplicando
por
e
por
, obtemos
Como a multiplicação é comutativa, segue que