Esboce a curva r=1+sen(theta) dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares definida por
r = 1 + sin(theta)
O conteúdo principal aqui é entender como variar theta de 0 a 2pi, calcular alguns pontos-chave e depois traçar uma curva suave que conecta esses pontos, reconhecendo que a forma é uma cardioide.

Passo 2

Vamos encontrar os valores de theta em que r atinge extremos ou zera, pois são pontos fundamentais no esboço.
Para r=1+sin(theta):
– Máximo quando sin(theta)=1, ou seja theta=tfracpi2, e então rmax=2.
– Mínimo quando sin(theta)=-1, ou seja theta=tfrac3pi2, e então rmin=0.
Esse r=0 em theta=tfrac3pi2 corresponde a um cusp (pontinha) no polo.

Passo 3

Vamos montar uma tabela de valores para theta principais, o correspondente r e as coordenadas cartesianas (x,y)=(rcostheta,,rsintheta):
c|c|c theta & r=1+sin(theta) & (x,y)=(rcostheta,,rsintheta)hline 0 & 1 & (1,0) tfracpi2 & 2 & (0,2) pi & 1 & (-1,0) tfrac3pi2 & 0 & (0,0) 2pi & 1 & (1,0)

Passo 4

Com esses pontos em mãos, traçamos a curva de forma suave conforme theta vai de 0 a 2pi:
  • De theta=0 a theta=tfracpi2, o raio cresce de 1 até 2, levantando a curva até o ponto (0,2).
  • De theta=tfracpi2 a pi, o raio cai de 2 para 1, descendo até (-1,0).
  • De theta=pi a tfrac3pi2, o raio continua decrescendo de 1 a 0, chegando ao cusp no polo.
  • De theta=tfrac3pi2 a 2pi, o raio sobe de 0 a 1, voltando ao ponto (1,0).
    A curva resultante é uma cardioide voltada para cima, simétrica em relação ao eixo vertical.

Resposta

O esboço de r=1+sin(theta) é uma cardioide com cusp no polo ( 0,0), máximo r=2 em theta=tfracpi2 (ponto (0,2)) e simetria em torno do eixo vertical.

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