Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, partial^2 fpartial x^2, partialpartial x(partial fpartial y), partialpartial y(partial fpartial x), e partial^2 fpartial y^2
f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^4y ;-;2x^3y^2
Para isso, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem fx e fy, e em seguida derivar novamente em x e em y.

Passo 2

Calculamos fx=partial fpartial x e fy=partial fpartial y.
partial fpartial x =partialpartial xl(x^4yr) -partialpartial xl(2x^3y^2r) =4x^3y-6x^2y^2,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^4yr) -partialpartial yl(2x^3y^2r) =x^4-4x^3y

Passo 3

Agora derivamos fx em x e em y:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(4x^3y-6x^2y^2r) =12x^2y-12x,y^2,
partialpartial y!l(partial fpartial xr) =partialpartial yl(4x^3y-6x^2y^2r) =4x^3-12x^2y

Passo 4

Por fim, derivamos fy em x e em y:
partialpartial x!l(partial fpartial yr) =partialpartial xl(x^4-4x^3yr) =4x^3-12x^2y,
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl(x^4-4x^3yr) =-4x^3

Resposta

partial^2 fpartial x^2=12x^2y-12x,y^2
partialpartial xl(partial fpartial yr)=4x^3-12x^2y
partialpartial yl(partial fpartial xr)=4x^3-12x^2y
partial^2 fpartial y^2=-4x^3

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