Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, partial^2 fpartial x^2, partialpartial x(partial fpartial y), partialpartial y(partial fpartial x), e partial^2 fpartial y^2
f(x, y)=y2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=y2x+3y
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando regra do quociente e, depois, regras do produto e da cadeia para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas de primeira ordem com a regra do quociente. Seja u=y e v=2x+3y. Então
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2 =0cdot(2x+3y)-ycdot2(2x+3y)^2 =-2y(2x+3y)^2,
partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2 =1cdot(2x+3y)-ycdot3(2x+3y)^2 =2x(2x+3y)^2

Passo 3

Agora calculamos partial^2 fpartial x^2 derivando fx=-2y(2x+3y)^-2 em relação a x. Como y é constante em relação a x,
partial^2 fpartial x^2 =-2ycdotl(-2r),(2x+3y)^-3cdot2 =8y(2x+3y)^3

Passo 4

Em seguida partial^2 fpartial xpartial y derivando fx=-2y(2x+3y)^-2 em relação a y:
fxy =-2,(2x+3y)^-2 +(-2y)cdot(-2),(2x+3y)^-3cdot3 =-2(2x+3y)^2+12y(2x+3y)^3 =-4x+6y(2x+3y)^3
Verificando fyx derivando fy=2x(2x+3y)^-2 em relação a x obtém-se o mesmo resultado:
fyx =-4x+6y(2x+3y)^3

Passo 5

Por fim partial^2 fpartial y^2 derivando fy=2x(2x+3y)^-2 em relação a y:
partial^2 fpartial y^2 =2xcdot(-2),(2x+3y)^-3cdot3 =-12x(2x+3y)^3

Resposta

partial^2 fpartial x^2 =8y(2x+3y)^3, partialpartial xl(partial fpartial yr) =-4x+6y(2x+3y)^3,
partialpartial yl(partial fpartial xr) =-4x+6y(2x+3y)^3, partial^2 fpartial y^2 =-12x(2x+3y)^3

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