Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, partial^2 fpartial x^2, partialpartial x(partial fpartial y), partialpartial y(partial fpartial x), e partial^2 fpartial y^2
f(x, y)=sen(x^2-y^2)

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=senl(x^2 - y^2r)
O conteúdo envolvido é derivação parcial e regra da cadeia: primeiro encontramos partial fpartial x e partial fpartial y, depois derivamos essas expressões em relação a x e y para obter partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partialpartial xl(partial fpartial yr) e partialpartial yl(partial fpartial xr).

Passo 2

Vamos escrever u(x,y)=x^2 - y^2, de modo que f(x,y)=sen(u). Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =cos(u),partial upartial x =cosl(x^2-y^2r)cdot 2x =2xcosl(x^2-y^2r),
partial fpartial y =cos(u),partial upartial y =cosl(x^2-y^2r)cdot(-2y) =-2ycosl(x^2-y^2r)

Passo 3

Agora partial^2 fpartial x^2=partialpartial xl(2xcos(u)r).
Usando produto e cadeia:
partialpartial x(2x)=2, partialpartial xl(cos(u)r) =-sin(u),partial upartial x =-sinl(x^2-y^2r)cdot2x
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partial^2 fpartial x^2 =2cosl(x^2-y^2r) +2xl[-2xsinl(x^2-y^2r)r] =2cosl(x^2-y^2r)-4x^2sinl(x^2-y^2r)

Passo 4

Em seguida partial^2 fpartial y^2=partialpartial yl(-2ycos(u)r).
Produto e cadeia:
partialpartial y(-2y)=-2, partialpartial yl(cos(u)r) =-sin(u),partial upartial y =-sinl(x^2-y^2r)cdot(-2y) =2ysinl(x^2-y^2r)
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partial^2 fpartial y^2 =-2cosl(x^2-y^2r) +(-2y)l[2ysinl(x^2-y^2r)r] =-2cosl(x^2-y^2r)-4y^2sinl(x^2-y^2r)

Passo 5

Agora partialpartial yl(partial fpartial xr) =partialpartial yl(2xcos(u)r). Aqui 2x é constante em y, e
partialpartial yl(cos(u)r) =-sin(u),partial upartial y =-sinl(x^2-y^2r)cdot(-2y) =2ysinl(x^2-y^2r)
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partialpartial yl(partial fpartial xr) =2xl[2ysinl(x^2-y^2r)r] =4xysinl(x^2-y^2r)

Passo 6

Por fim partialpartial xl(partial fpartial yr) =partialpartial xl(-2ycos(u)r). Aqui -2y é constante em x, e
partialpartial xl(cos(u)r) =-sin(u),partial upartial x =-sinl(x^2-y^2r)cdot2x =-2xsinl(x^2-y^2r)
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partialpartial xl(partial fpartial yr) =-2yl[-2xsinl(x^2-y^2r)r] =4xysinl(x^2-y^2r)

Resposta

partial^2 fpartial x^2 =2cosl(x^2-y^2r)-4x^2sinl(x^2-y^2r),
partial^2 fpartial y^2 =-2cosl(x^2-y^2r)-4y^2sinl(x^2-y^2r),
partialpartial yl(partial fpartial xr) =partialpartial xl(partial fpartial yr) =4xysinl(x^2-y^2r)

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