Resolva d yd x+y=f(x), y(0)=0 onde

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem com termo de forçamento peça–por–peça: temos dydx+y=f(x), condição inicial y(0)=0 e f(x)=1 para 0<= x<=1 e f(x)=0 para x>1. O conteúdo envolve fator de integração para equações lineares.

Passo 2

Para equações do tipo y'+y=f(x) usamos o fator de integração mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando ambos os lados por e^x obtemos:
ddx(y e^x)=f(x)e^x

Passo 3

Para 0<= x<=1 temos f(x)=1. Integramos de 0 até x aproveitando que y(0)=0:
y(x)e^x - y(0)e^0 = integral0^x e^t,dt ; Rightarrow; y(x)e^x = e^x -1
Daí vem
y(x)=1-e^-x, 0<= x<=1

Passo 4

Para x>1 temos f(x)=0. A equação reduz-se a
ddx(y e^x)=0 ;Rightarrow; y e^x=C

Passo 5

Impondo continuidade em x=1: y(1)=1-e^-1 e y(1)e^1=C C=e-1. Logo
y(x)=(e-1)e^-x, x>1

Resposta

A solução geral é
dado por
y(x)= 1 - e^-x, & 0<= x<=1, (e-1)e^-x, & x>1

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