A tabela abaixo contém a distribuição de frequência dos salários semanais de 50 funcionários de uma empresa:
Classe 60 - 80 80 - 100 100 - 120 120 - 140 140 - 160
c|c|c|c|c|c Classe & 60 - 80 & 80 - 100 & 100 - 120 & 120 - 140 & 140 - 160 hline$f i$ & 8 & 16 & 12 & 10 & 4 8 16 12 10 4
Pede-se o Resumo estatístico e explique o significado de cada medida.
Obs.: Todas as medidas separatrizes devem ser calculadas por interpolação.
Apresente todos os cálculos, incluindo a tabela/quadro de informações.
Utilize duas casas decimais.
Este trabalho vale até 5 pontos.
a) o salário médio;
b) o salário modal;
c) o salário mediano;
d) o coeficiente de variação;
e) as medidas de assimetria;
f) as medidas de Curtose;

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição de frequência dos salários semanais de 50 funcionários em cinco classes e pede um resumo estatístico: medidas de posição (média, moda e mediana), dispersão (coeficiente de variação) e forma da distribuição (assimetria e curtose). Como os dados estão em classes, usaremos o ponto médio de cada classe e fórmulas de interpolação para moda e mediana.

Passo 2

Para calcular média e variância, montamos a tabela de classes, frequências fi, pontos médios xi, produtos fi xi e fi xi^2:
c|c|c|c|c Classe & fi & xi & fi xi & fi xi^2hline 6080 & 8 & 70 & 560 & 39,200 80100 & 16 & 90 & 1,440 & 129,600 100120 & 12 & 110 & 1,320 & 145,200 120140 & 10 & 130 & 1,300 & 169,000 140160 & 4 & 150 & 600 & 90,000hline Total & 50 & & 5,220 & 573,000

Passo 3

Calculamos a média e a variância populacional:
bar x = sum fi xiN = 5,22050 = 104,40
mu2 = sum fi xi^2N - bar x^2 = 573,00050 - (104,40)^2 =11,460 - 10,899,36 =560,64
O desvio padrão é
sigma = raizmu2 = raiz560,64approx 23,68
A média indica o salário típico em torno de $104,40, e o desvio mostra que os salários se afastam, em média, $23,68 desse valor.

Passo 4

Para a mediana usamos a classe onde a soma acumulada atinge N/2=25. A tabela acumulada é:
8,;24,;36,;46,;50
Como 25 cai na terceira classe [100,120) com f=12, ponto de corte inferior L=100, soma anterior F=24 e largura h=20, temos por interpolação
tilde x = L + tfracN2-Ff,h =100 + 25-2412times20 =100 + 1,67 =101,67
A mediana divide a distribuição ao meio, ou seja, metade ganha até $101,67 e metade ganha acima.

Passo 5

A moda está na classe de maior frequência ( fmax=16, classe [80,100)), com f1=16, frequência anterior f0=8, seguinte f2=12, limite inferior L=80, h=20. Por interpolação:
hat x = L + f1 - f02f1 - f0 - f2,h =80 + 16 - 82cdot16 - 8 - 12times20 =80 + 812times20 =80 + 13,33 =93,33
A moda indica o salário mais comum, aqui cerca de $93,33.

Passo 6

O coeficiente de variação é
CV = sigmabar xtimes100% = 23,68104,40times100% approx22,68%
Ele mostra a dispersão relativa dos salários em torno da média.

Passo 7

Para a assimetria e curtose usamos momentos centrados de ordem 3 e 4:
mu3 = 1Nsum fi(xi-bar x)^3 approx3,514,37, mu4 = 1Nsum fi(xi-bar x)^4 approx669,848,37
O coeficiente de assimetria (momento 3) é
g1 = mu3mu2^3/2 approx3,514,37(560,64)^3/2 approx0,26,
levemente positivo, indicando cauda mais longa à direita.
O coeficiente de curtose é
g2 = mu4mu2^2 - 3 approx669,848,37(560,64)^2-3 approx -0,87,
negativo, indicando distribuição mais achatada que a normal (platicúrtica).

Resposta

(a) Salário médio: bar x = 104,40
(b) Salário modal: hat x = 93,33
(c) Salário mediano: tilde x = 101,67
(d) Coeficiente de variação: CVapprox22,68%
(e) Coeficiente de assimetria: g1approx0,26 (assimetria positiva)
(f) Coeficiente de curtose: g2approx -0,87 (distribuição platicúrtica)

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